Правильная треугольная пирамида DABC дана. M является серединой ребра AB. N является основанием перпендикуляра

Храбрый_Викинг

36

1) Докажем, что линия MN перпендикулярна линии AB.

Для начала, обратимся к свойству треугольников, которое гласит: если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они взаимно перпендикулярны между собой.

Мы знаем, что точка M является серединой ребра AB в треугольной пирамиде DABC. Значит, отрезок MD равен отрезку MB в длине и делит ребро AB пополам.

Также, точка N является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую CD. В результате этого перпендикуляра, образуются два прямоугольных треугольника, которые будут подобными по определению, так как у них угол при вершине M общий.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон прямоугольных треугольников равно. То есть, \(\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{MB}\).

Учитывая, что MD = MB, получим \(\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{MD}\).

Также мы знаем, что точка M является серединой ребра AB, поэтому длина отрезка MC также равна длине отрезка MD.

Тогда получим: \(\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{MD}\) => \(\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{MB}\)

Это означает, что отношение DN к MC равно отношению MN к MB.

Но мы уже знаем, что отношение DN к MC равно \(cos(\angle DCM)\), так как это соотношение связано с углом между прямой MN и CD.

Также, отношение MN к MB равно \(cos(\angle AMB)\), так как это соотношение связано с углом между прямой MN и AB.

Из этого следует, что \(cos(\angle DCM) = cos(\angle AMB)\).

Поскольку косинус является функцией инъективной на интервале [-π/2, π/2], то угол DCM равен углу AMB.

А поскольку угол DCM является углом между прямыми MN и CD, а угол AMB является углом между прямыми MN и AB, то линия MN перпендикулярна линии AB.

Таким образом, доказано, что линия MN перпендикулярна линии AB.

2) Найдем величину угла между боковыми гранями.

Угол между одной из боковых граней и плоскостью основания равен 60 градусов.

Поскольку пирамида DABC является правильной треугольной пирамидой, все её боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Так как треугольник является равнобедренным, то у него два угла при основании равны между собой.

Таким образом, угол между боковыми гранями будет равен половине угла при основании.

Поскольку угол между одной из боковых граней и плоскостью основания равен 60 градусов, то угол между боковыми гранями будет равен \(\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).

Таким образом, величина угла между боковыми гранями равна 30 градусам.