Предоставлены точки а(-10; 3), b(2; 9), с(5; 3) 1. Покажите, что треугольник прямоугольный и запишите уравнение

Капля_9968

44

Хорошо, давайте решим данную задачу.

1. Чтобы показать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно проверить, удовлетворяют ли его стороны условию теоремы Пифагора. Вспомним, что условие теоремы Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Таким образом, нам нужно проверить, соблюдается ли это условие для сторон треугольника ABC.

Для начала, посчитаем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками:

Длина стороны AB:
\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\]

Длина стороны BC:
\[BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Длина стороны AC:
\[AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(5 - (-10))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{15^2 + 0^2} = \sqrt{225 + 0} = \sqrt{225} = 15\]

Теперь, проверим, выполняется ли условие теоремы Пифагора для сторон треугольника ABC:

AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 + 9 \cdot 5 = 180 + 45 = 225

AC^2 = (15)^2 = 225

Видим, что AB^2 + BC^2 = AC^2. Если эта формула выполняется, то это говорит о том, что треугольник является прямоугольным с гипотенузой AC.

Теперь перейдем к уравнению окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Уравнение окружности обычно имеет вид (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Чтобы найти уравнение окружности, нам нужно найти центр окружности и радиус.

Центр окружности может быть найден как точка пересечения биссектрис треугольника. Для этого рассмотрим две любые биссектрисы и найдем их точку пересечения.

Найдем биссектрису для стороны AB. Вычислим координаты точки пересечения:

\[x_{AB} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10 + 2}{2} = -4\]
\[y_{AB} = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6\]

Теперь найдем биссектрису для стороны BC:

\[x_{BC} = \frac{x_2 + x_3}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}\]
\[y_{BC} = \frac{y_2 + y_3}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6\]

Видим, что координаты точки пересечения биссектрис совпадают, и она имеет координаты (-4, 6). Это центр окружности.

Теперь найдем радиус окружности, который будет равен расстоянию от центра до любой вершины треугольника (например, от центра до точки A).

\[r = \sqrt{(x - x_{AB})^2 + (y - y_{AB})^2} = \sqrt{(-10 - (-4))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Таким образом, уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ABC, будет иметь вид:

\[(x - (-4))^2 + (y - 6)^2 = (3\sqrt{5})^2\]
\[(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 45\]

2. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медиану треугольника, нам нужно знать координаты вершин треугольника ABC. У нас уже имеются данные координаты:

A(-10, 3), B(2, 9), C(5, 3)

Медиана треугольника - это линия, которая соединяет каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Сначала найдем середину стороны BC. Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин B и C:

\[x_{BC} = \frac{x_2 + x_3}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}\]
\[y_{BC} = \frac{y_2 + y_3}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6\]

Таким образом, середина стороны BC имеет координаты (\(\frac{7}{2}\), 6).

Поступим аналогичным образом и найдем середины сторон AB и AC:

Середина стороны AB:
\[x_{AB} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10 + 2}{2} = -4\]
\[y_{AB} = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6\]

Середина стороны AC:
\[x_{AC} = \frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{-10 + 5}{2} = -\frac{5}{2}\]
\[y_{AC} = \frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{3 + 3}{2} = 3\]

Теперь мы имеем координаты середин всех трех сторон треугольника.

Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медиану треугольника, нам нужно использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого возьмем две пары точек: (A, середина BC) и (B, середина AC). Выбирая разные комбинации пар точек, мы получим уравнения всех трех медиан треугольника.

Уравнение прямой, содержащей медиану, проходящую через точку A и середину стороны BC, будет иметь вид:

\[y - y_A = \frac{y_{BC} - y_A}{x_{BC} - x_A} (x - x_A)\]
\[y - 3 = \frac{6 - 3}{\frac{7}{2} - (-10)} (x + 10)\]
\[y - 3 = \frac{3}{\frac{7}{2} + 10} (x + 10)\]
\[y - 3 = \frac{3}{\frac{27}{2}} (x + 10)\]
\[y - 3 = \frac{2}{9} (x + 10)\]
\[9y - 27 = 2x + 20\]
\[2x - 9y + 47 = 0\]

Таким образом, уравнение прямой, содержащей медиану треугольника ABC, будет иметь вид 2x - 9y + 47 = 0.

Надеюсь, эти подробные разъяснения помогут вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!