Предоставлены векторы a,b, c, с условием a = 6i - 8k , |b| = 1, (a,b) = 60 градусов c (4; 1; m). Что найти: а) a *

Елизавета

67

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

а) Для нахождения скалярного произведения векторов \(a\) и \(b\) мы используем следующую формулу:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

где \(|a|\) и \(|b|\) - это длины векторов \(a\) и \(b\) соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами \(a\) и \(b\).

Из задачи уже известно, что длина вектора \(b\) равна 1, а \((a,b)\) равно 60 градусов. Таким образом, мы можем вычислить скалярное произведение \(a \cdot b\):

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot \cos(60^\circ) \]

Вычислив значение косинуса угла 60 градусов и умножив его на 1, мы найдем \(a \cdot b\):

\[ a \cdot b = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

Таким образом, значение \(a \cdot b\) равно \(\frac{1}{2}\).

б) Для того, чтобы векторы \(a\) и \(c\) были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Используя формулу для скалярного произведения:

\[ a \cdot c = 6 \cdot 4 + 0 \cdot 1 + (-8) \cdot m = 24 - 8m \]

Учитывая, что \(a \cdot c\) должно быть равно нулю, мы можем записать уравнение:

\[ 24 - 8m = 0 \]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение \(m\):

\[ 24 - 8m = 0 \Rightarrow 8m = 24 \Rightarrow m = \frac{24}{8} = 3 \]

Таким образом, при \(m = 3\) векторы \(a\) и \(c\) являются перпендикулярными.

Для школьников важно помнить, что скалярное произведение двух векторов равно нулю, когда векторы являются перпендикулярными, а значение скалярного произведения меньше нуля, когда векторы образуют острый угол, и больше нуля, когда векторы образуют тупой угол.