Предполагается, что (nx_n) сходится. Является ли (x_n) также сходящейся последовательностью?

Sverkayuschiy_Gnom

62

Для ответа на этот вопрос мы можем использовать теорему о предельном переходе в неравенствах для последовательностей. Если мы предполагаем, что последовательность (nx_n) сходится, то это означает, что существует предел для этой последовательности. Давайте обозначим этот предел как L:

\[\lim_{{n \to \infty}} nx_n = L\]

Теперь, чтобы увидеть, является ли последовательность (x_n) также сходящейся, мы можем разделить обе стороны уравнения на n:

\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{{nx_n}}{n} = \frac{L}{n}\]

Теперь мы видим, что при некоторых условиях по теореме о предельном переходе в неравенствах, если последовательность \(\frac{{nx_n}}{n}\) сходится к некоторому пределу, то и последовательность (x_n) также сходится к этому же пределу.

В данном случае \(\frac{L}{n}\) стремится к нулю при \(n \to \infty\), так как L является константой. Таким образом, последовательность (x_n) также сходится к нулю:

\[\lim_{{n \to \infty}} x_n = 0\]

Таким образом, ответ на ваш вопрос: если последовательность (nx_n) сходится, то последовательность (x_n) также сходится к нулю.