Представьте число z в алгебраической форме: z = -41 + 63i / 50 - 6i + 1 / 1

Misticheskiy_Lord

12

Хорошо, начнем с того, что мы должны представить число \(z\) в алгебраической форме. Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) являются действительными числами, а \(i\) - мнимой единицей (\(i^2 = -1\)).

Для начала рассмотрим числитель:
\(-41 + 63i\)

Теперь рассмотрим знаменатель:
\(50 - 6i + \frac{1}{1}\)

Чтобы упростить данное выражение, нужно привести его к общему знаменателю. Знаменательом в нашем случае будет число 1:

\(50 - 6i + \frac{1}{1} = 50 - 6i + 1\)

Упрощаем:
\(50 - 6i + 1 = 51 - 6i\)

Теперь, объединяя числитель и знаменатель, получаем итоговое выражение:
\(z = \frac{-41 + 63i}{51 - 6i}\)

Поскольку мы хотим представить число \(z\) в алгебраической форме, нам нужно избавиться от дроби в знаменателе. Для этого нужно умножить оба числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя. Комплексно-сопряженное число имеет форму \(a - bi\), где \(a\) и \(b\) - такие же действительные числа, но знак у мнимой части обратный.

В нашем случае, комплексно-сопряженное число знаменателя будет иметь форму:
\(51 + 6i\)

Умножаем числитель и знаменатель на это число:
\(z = \frac{(-41 + 63i)(51 + 6i)}{(51 - 6i)(51 + 6i)}\)

Упрощаем:
\(z = \frac{-41 \cdot 51 - 41 \cdot 6i + 63i \cdot 51 + 63i \cdot 6i}{51^2 - (6i)^2}\)

Выполняем умножение в числителе:
\(z = \frac{-2091 - 246i + 3213i + 378i^2}{51^2 - 36i^2}\)

Значение \(i^2\) равно -1, поэтому:
\(z = \frac{-2091 - 246i + 3213i + 378(-1)}{51^2 - 36(-1)}\)

\(z = \frac{-2091 - 246i + 3213i - 378}{2601 + 36}\)

\(z = \frac{876 - 111i}{2637}\)

После получения этого значения, мы можем разделить числитель и знаменатель на общий делитель (в данном случае он равен 3):
\(z = \frac{292 - 37i}{879}\)

Таким образом, мы получаем алгебраическую форму числа \(z\):
\(z = \frac{292}{879} - \frac{37}{879}i\)

Теперь число \(z\) представлено в форме \(a + bi\), где \(a = \frac{292}{879}\), а \(b = -\frac{37}{879}\).