При каких положительных значениях b будут корни уравнения x^2 + bx - 2 = 0, которые, если уменьшить на 1, станут

Летучая

14

Для решения данной задачи, давайте разберемся сначала, как найти корни исходного уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\), а затем проверим условие, при котором, если уменьшить корни на 1, они останутся решениями этого уравнения.

1. Найдем корни исходного уравнения.
Чтобы найти корни квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где у нас есть квадратный трехчлен \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном уравнении a = 1, b = b и c = -2.

Подставим значения в формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = b^2 - 4(1)(-2) = b^2 + 8\]

Теперь, чтобы найти корни уравнения, нам необходимо решить уравнение \(D = 0\), так как у квадратного уравнения корни могут быть совпадающими только при условии, что дискриминант равен нулю.

Подставим \(D = 0\) и решим уравнение:
\[b^2 + 8 = 0\]

Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:
\[b^2 = -8\]

Поскольку нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел, уравнение \(b^2 = -8\) не имеет решений. То есть, дискриминант \(D\) всегда будет больше нуля и, следовательно, корни данного уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\) будут различными.

2. Проверим условие поставленной задачи.
Определим, при каких значениях \(b\) уменьшение корней на 1 приведет к тому, что они останутся решениями уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\).

Обозначим корни уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\) через \(x_1\) и \(x_2\).
Согласно условию задачи, уменьшение обоих корней на 1 должно сохранять решения уравнения. То есть, мы должны иметь:
\((x_1 - 1)^2 + b(x_1 - 1) - 2 = 0\) и \((x_2 - 1)^2 + b(x_2 - 1) - 2 = 0\).

Раскроем квадраты в обоих уравнениях:
\((x_1^2 - 2x_1 + 1) + b(x_1 - 1) - 2 = 0\) и \((x_2^2 - 2x_2 + 1) + b(x_2 - 1) - 2 = 0\).

Упростим уравнения:
\(x_1^2 + bx_1 - bx_1 + 1 - 2 = 0\) и \(x_2^2 + bx_2 - bx_2 + 1 - 2 = 0\).

Мы видим, что первые два слагаемых в обоих уравнениях сокращаются:
\(x_1^2 + 1 - 2 = 0\) и \(x_2^2 + 1 - 2 = 0\).

Упростим еще раз:
\(x_1^2 - 1 = 0\) и \(x_2^2 - 1 = 0\).

Для того, чтобы эти уравнения оказались тождественными, значения должны быть равны:
\(x_1^2 - 1 = x_2^2 - 1\).

Поскольку \(x_1\) и \(x_2\) -- корни исходного уравнения, мы знаем, что \(x_1\) не равно \(x_2\), т.к. корни различные.
Из этого следует, что \(x_1 = -x_2\).

Подставим \(x_1 = -x_2\) в уравнение \(x_1^2 - 1 = x_2^2 - 1\):
\((-x_2)^2 - 1 = x_2^2 - 1\).

Из этого, мы получаем:
\(x_2^2 - 1 = x_2^2 - 1\).

Это уравнение выполняется для любых значений \(x_2\). То есть, при условии \(x_1 = -x_2\), уменьшение корней на 1 приводит к тому, что они остаются решениями уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\).

Теперь рассмотрим это условие в контексте нашего исходного уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\). Подставим это условие:
\[x_1 = -x_2 \Rightarrow -x_2 = -x_1 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0\]

Сумма корней квадратного уравнения всегда равна коэффициенту при первой степени \(x\), в нашем случае это \(b\). То есть, имеем \(x_1 + x_2 = b\).

Получается, что условие \(x_1 + x_2 = 0\) эквивалентно условию \(b = 0\), то есть корни уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\) остаются решениями этого уравнения именно при \(b = 0\).

Итак, ответ на задачу: корни уравнения \(x^2 + bx - 2 = 0\) останутся решениями этого уравнения при \(b = 0\).