Чему равно выражение (2sinα - 3cosα) / (4sinα + 3cosα), если tgα = 1/8?

Amina

1

Давайте посмотрим, как решить эту задачу.

Нам дано уравнение:
\[\frac{{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}}{{4\sin\alpha + 3\cos\alpha}}\]

Мы знаем, что \(\tan\alpha = \frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}}\), поэтому по данному условию \(\tan\alpha = \frac{1}{8}\).

Давайте решим это уравнение.

Сначала мы можем выразить \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) через \(\tan\alpha\). Используя свойства тригонометрических функций, мы можем записать:
\[\sin\alpha = \frac{{\tan\alpha}}{{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}}}\]
\[\cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}}}\]

Подставим значение \(\tan\alpha = \frac{1}{8}\) в эти уравнения:
\[\sin\alpha = \frac{{\frac{1}{8}}}{{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{8}\right)^2}}}\]
\[\cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{8}\right)^2}}}\]

Упростим числители и знаменатели:
\[\sin\alpha = \frac{1}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}}\]
\[\cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt{\frac{65}{64}}}}\]

Теперь, когда у нас есть значения \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\), мы можем найти значение исходного выражения, заменив их в уравнение:
\[\frac{{2\left(\frac{1}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}}\right) - 3\left(\frac{1}{{\sqrt{\frac{65}{64}}}}\right)}}{{4\left(\frac{1}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}}\right) + 3\left(\frac{1}{{\sqrt{\frac{65}{64}}}}\right)}}\]

Упростим числитель и знаменатель:
\[\frac{{\frac{2}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}} - \frac{3}{{\sqrt{\frac{65}{64}}}}}}{{\frac{4}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}} + \frac{3}{{\sqrt{\frac{65}{64}}}}}}\]

Упростим подстроимвое выражение:
\[\frac{{\frac{{2 - 3\sqrt{\frac{65}{64}}}}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}}}}{{\frac{{4 + 3\sqrt{\frac{65}{64}}}}{{8\sqrt{\frac{65}{64}}}}}}\]

Приведем общий знаменатель и упростим:
\[\frac{{2-3\sqrt{\frac{65}{64}}}}{{4+3\sqrt{\frac{65}{64}}}}\]

Теперь мы можем рационализировать знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на конъюгат:
\[\frac{{(2-3\sqrt{\frac{65}{64}})(4-3\sqrt{\frac{65}{64}})}}{{(4+3\sqrt{\frac{65}{64}})(4-3\sqrt{\frac{65}{64}})}}\]

Упростим выражение, умножив числители:
\[\frac{{8-6\sqrt{\frac{65}{64}}-12\sqrt{\frac{65}{64}}+9\sqrt{\frac{65}{64}}^2}}{{16-9\sqrt{\frac{65}{64}}^2}}\]

Упростим числитель и знаменатель:
\[\frac{{8-18\sqrt{\frac{65}{64}}+9\frac{65}{64}}}{{16-9\frac{65}{64}}}\]

Теперь выразим \(\sqrt{\frac{65}{64}}\):
\[\sqrt{\frac{65}{64}} = \frac{{\sqrt{65}}}{8}\]

Подставим это значение в выражение:
\[\frac{{8-18\left(\frac{{\sqrt{65}}}{8}\right)+9\left(\frac{65}{64}\right)}}{{16-9\left(\frac{65}{64}\right)}}\]

Упростим числитель и знаменатель:
\[\frac{{8-18\left(\frac{{\sqrt{65}}}{8}\right)+\frac{{585}}{64}}}{{16-9\left(\frac{{65}}{64}\right)}}\]

Теперь вычислим числители и знаменатели:
\[\frac{{\frac{{512}}{{64}}-\frac{{18\sqrt{65}}}{{8}}+\frac{{585}}{{64}}}}{{1}}\]

Упростим числитель:
\[\frac{{8-18\sqrt{\frac{65}{64}}+9\frac{65}{64}}}{{1}} = \frac{{\frac{512}{64}-\frac{18\sqrt{65}}{8}+\frac{585}{64}}}{{1}}\]

Разделим числитель на знаменатель:
\[\frac{{\frac{512}{64}-\frac{18\sqrt{65}}{8}+\frac{585}{64}}}{{1}} = \frac{{512-18\sqrt{65}+585}}{{64}} = \frac{{1097-18\sqrt{65}}}{{64}}\]

Таким образом, выражение \(\frac{{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}}{{4\sin\alpha + 3\cos\alpha}}\) при \(\tan\alpha = \frac{1}{8}\) равно \(\frac{{1097-18\sqrt{65}}}{{64}}\).