Какие значения a и b должны быть, чтобы это тождество было верным: 3x^3-x^4-3x+1-(x^2+1)(3x^3+ax^2+bx+1)​?

Эдуард

23

Давайте решим эту задачу покоэффициентно и найдем значения \(a\) и \(b\), чтобы тождество было верным.

Сначала раскроем скобки в выражении \((x^2+1)(3x^3+ax^2+bx+1)\):

\[3x^3+ax^2+bx+1 - x^4 - 3x + 1 - (x^2+1)(3x^3+ax^2+bx+1)\]

Распределим отрицательный знак перед скобкой на каждый ее член:

\[3x^3+ax^2+bx+1 - x^4 - 3x + 1 - (3x^5 + 3ax^4 + bx^3 + x^2 + 3x^4 + 3ax^3 + bx^2 + x + 3x^3 + 3ax^2 + bx + 1)\]

Далее объединим похожие члены. Учтем, что у нас есть слагаемые \(3x^3\) и \(-3x^3\), которые будут взаимно уничтожаться:

\[3x^3 + ax^2 + bx + 1 - x^4 - 3x + 1 - 3x^5 - 3ax^4 - bx^3 - x^2 - 3x^4 - 3ax^3 - bx^2 - x - 3x^3 - 3ax^2 - bx - 1\]

Расставим члены по убыванию степеней \(x\):

\[-3x^5 - 3ax^4 - 3x^4 - bx^3 - 3ax^3 + 3x^3 - x^4 - x^2 + ax^2 - bx^2 - 3x^3 - 3ax^2 - bx + bx + 3x^3 + 3ax^2 + ax^2 - 3x + 1 + 1\]

Просуммируем все члены с одинаковой степенью \(x\):

\[-3x^5 + (-3a - 1)x^4 + (-3 - b)x^3 + (a - 1)x^2 + (a - b - 3)x + 2\]

Теперь, чтобы тождество было верным, коэффициенты перед каждым членом степени \(x\) должны быть равны нулю. Запишем уравнения для каждого коэффициента:

\[-3 = 0\]
\[-3a - 1 = 0\]
\[-3 - b = 0\]
\[a - 1 = 0\]
\[a - b - 3 = 0\]

Решим это систему уравнений:

Из первого уравнения получаем \(3 = 0\), что является ложным уравнением. Таким образом, нет таких значений \(a\) и \(b\), при которых данное тождество было бы верным.

Мы получили противоречие, которое говорит о том, что исходное тождество неверно.

Итак, задача не имеет решения для значений \(a\) и \(b\), при которых данное тождество будет верным.