При каких значениях а и б прямая с уравнением ах+бу-2=0 проходит через точки M(-1; 5) и N (2;-4)?

Stanislav

64

Чтобы найти значения \(a\) и \(b\), при которых прямая с уравнением \(ax + by - 2 = 0\) проходит через заданные точки \(M(-1, 5)\) и \(N(2, -4)\), мы можем воспользоваться системой уравнений. Для этого заменим координаты точек \(M\) и \(N\) в уравнении прямой и получим два уравнения:

Уравнение для точки \(M\):
\[
a \cdot (-1) + b \cdot 5 - 2 = 0
\]

Уравнение для точки \(N\):
\[
a \cdot 2 + b \cdot (-4) - 2 = 0
\]

Теперь решим эту систему уравнений. Для начала перенесём свободные члены на другую сторону и приведём подобные члены в каждом уравнении:

\[
\begin{cases}
-a + 5b = 2 \quad \text{(1)} \\
2a - 4b = 2 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Чтобы получить значения \(a\) и \(b\), мы можем решить эту систему уравнений. Для этого воспользуемся методом, известным как метод исключения.

Умножим уравнение (1) на 2 и сложим с уравнением (2):

\[
\begin{align*}
2(-a + 5b) + (2a - 4b) &= 4 + 2 \\
-2a + 10b + 2a - 4b &= 6b = 6
\end{align*}
\]

Теперь делим оба члена на 6:

\[
b = \frac{6}{6} = 1
\]

Теперь, чтобы найти \(a\), подставим значение \(b\) в любое из двух исходных уравнений. Давайте возьмём уравнение (1):

\[
-a + 5 \cdot 1 = 2
\]

Теперь выразим \(a\) из этого уравнения:

\[
-a + 5 = 2 \implies -a = 2 - 5 \implies -a = -3 \implies a = 3
\]

Таким образом, \(a = 3\) и \(b = 1\).

Итак, прямая с уравнением \(3x + y - 2 = 0\) проходит через заданные точки \(M(-1, 5)\) и \(N(2, -4)\) при значениях \(a = 3\) и \(b = 1\).