При каких значениях a система уравнений 3x+y=1 и ax+4y=4 ​ имеет бесконечное количество решений?

Chernaya_Magiya_9371

2

Для начала давайте решим данную систему уравнений. У нас есть два уравнения:

1) \(3x + y = 1\)
2) \(ax + 4y = 4\)

Мы можем применить различные методы решения систем уравнений, такие как метод подстановки или метод сложения/вычитания. Я выберу метод сложения/вычитания.

Для этого нам необходимо избавиться от одной переменной в одном из уравнений. Рассмотрим уравнение 1). Мы можем умножить оба уравнения на 4, чтобы получить одинаковые коэффициенты при переменной y:

1) \(12x + 4y = 4\)
2) \(ax + 4y = 4\)

Теперь вычтем уравнение 2) из уравнения 1):

\((12x + 4y) - (ax + 4y) = 4 - 4\)
\(12x - ax + 4y - 4y = 0\)
\((12 - a)x = 0\)

Теперь у нас есть новое уравнение, которое зависит от переменной x и параметра a. Если \(12 - a \neq 0\), то мы можем поделить обе части уравнения на \(12 - a\):

\((12 - a)x = 0\)
\(x = \frac{0}{12 - a}\)
\(x = 0\)

Таким образом, при любом значении a, которое не равно 12, у нас будет одно и только одно решение для x, а именно x = 0.

Теперь можем найти значение y, используя одно из исходных уравнений. Давайте воспользуемся уравнением 1):

\(3x + y = 1\)

Подставим x = 0:

\(3(0) + y = 1\)
\(y = 1\)

Итак, при a ≠ 12, у нас есть единственное решение для данной системы уравнений: x = 0, y = 1.

Теперь рассмотрим случай, когда a = 12. Подставим это значение в исходные уравнения:

1) \(3x + y = 1\)
2) \(12x + 4y = 4\)

При a = 12 уравнения становятся:

1) \(3x + y = 1\)
2) \(12x + 4y = 4\)

Мы видим, что первое и второе уравнения линейно зависимы. Это означает, что уравнения представляют собой прямые, которые совпадают или находятся на одной прямой. В таком случае, у системы будет бесконечное количество решений.

То есть, при a = 12, система уравнений будет иметь бесконечное количество решений.

Вывод:
Система уравнений 3x + y = 1 и ax + 4y = 4 будет иметь бесконечное количество решений, если a = 12. При любом другом значении a у системы будет только одно решение: x = 0, y = 1.