Найдите исходную дробь, если числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя, а если числитель увеличить

Лапка

66

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть исходная дробь равна \(\frac{x}{y}\), где \(x\) - числитель, а \(y\) - знаменатель.

Согласно условию задачи, числитель обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя, то есть \(x = y - 4\).

Также по условию, если числитель увеличить на 6, а знаменатель - на 5, то полученная дробь будет на \(\frac{1}{2}\) больше исходной. Мы можем записать это следующим образом:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}\)

Давайте составим уравнение:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}\)

Начнем с упрощения правой части уравнения:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}\)

Для сложения дробей с разными знаменателями, нам нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем является \(2y\). Таким образом:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{2x}{2y} + \frac{y}{2y}\)

Упростим полученную дробь:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{2x + y}{2y}\)

Теперь у нас есть уравнение:

\(\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{2x + y}{2y}\)

Давайте уберем дроби, умножив обе части уравнения на их общий знаменатель \(2y(y + 5)\).

\(2y(y + 5)(x + 6) = (2x + y)(y + 5)\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(2y^2 + 10y(x + 6) = 2xy + 10x + y^2 + 5y\)

Проведем все необходимые операции при помощи арифметических действий:

\(2y^2 + 10yx + 60y = 2xy + 10x + y^2 + 5y\)

Теперь перенесем все слагаемые с \(x\) на одну сторону уравнения, а все слагаемые с \(y\) на другую:

\(2y^2 - y^2 + 10yx - 2xy - 10x - 5y + 60y = 0\)

Упростим уравнение:

\(y^2 + 10yx - 2xy - 5y + 60y = 0\)

Теперь проведем факторизацию уравнения:

\(y(y + 10x) - 2x(y + 30) = 0\)

Мы можем вынести общий множитель, который является \((y + 30)\):

\((y + 30)(y - 2x) = 0\)

Теперь у нас есть два возможных варианта:

1) \(y + 30 = 0\) или 2) \(y - 2x = 0\)

Первый вариант:

\(y + 30 = 0\)

Решим его:

\(y = -30\)

Теперь подставим этот результат в уравнение \(x = y - 4\):

\(x = -30 - 4\)

\(x = -34\)

Таким образом, первое решение задачи: числитель исходной дроби равен \(-34\), а знаменатель равен \(-30\).

Второй вариант:

\(y - 2x = 0\)

Решим его:

\(y = 2x\)

Опять же, подставим это обратно в уравнение \(x = y - 4\):

\(x = 2x - 4\)

Решим это уравнение:

\(x = 4\)

Теперь найдем значение \(y\):

\(y = 2 \cdot 4\)

\(y = 8\)

Таким образом, второе решение задачи: числитель исходной дроби равен \(4\), а знаменатель равен \(8\).

В итоге, мы получили два решения задачи:
1) \(\frac{-34}{-30}\)
2) \(\frac{4}{8}\)

Проверим, удовлетворяют ли эти значения условиям задачи:

Для первого решения, числитель обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя:

\(-34 = -30 - 4\)

Условие выполняется.

Также, при увеличении числителя на 6 и знаменателя на 5, мы получаем дробь, которая на \(\frac{1}{2}\) больше исходной:

\(\frac{-34 + 6}{-30 + 5} = \frac{-34}{-30} + \frac{1}{2}\)

Условие выполняется.

Аналогично проверим второе решение:

Для второго решения, числитель обыкновенной дроби на 4 меньше знаменателя:

\(4 = 8 - 4\)

Условие выполняется.

Также, при увеличении числителя на 6 и знаменателя на 5, мы получаем дробь, которая на \(\frac{1}{2}\) больше исходной:

\(\frac{4 + 6}{8 + 5} = \frac{4}{8} + \frac{1}{2}\)

Условие выполняется.

Таким образом, оба решения подходят под условие задачи.