При каких значениях a существует ровно одно решение уравнения (a-2)*x^2+x+2=0?

Малышка

3

Для того чтобы определить, при каких значениях \(a\) уравнение \((a-2)x^2 + x + 2 = 0\) имеет ровно одно решение, мы можем использовать дискриминант уравнения.

Начнем с общей формулы для решения квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - это коэффициенты уравнения.

Дискриминант \(D\) такого уравнения можно вычислить по формуле:

\[ D = B^2 - 4AC \]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных решения.
Если \(D = 0\), то уравнение имеет ровно одно решение (две совпадающие вещественные корни).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных решений.

Вернемся к нашему уравнению \((a-2)x^2 + x + 2 = 0\). Сравнивая его с общей формой квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\), мы видим, что \(A = a-2\), \(B = 1\) и \(C = 2\).

Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[ D = (1)^2 - 4(a-2)(2) \]

Раскрываем скобки:

\[ D = 1 - 8(a-2) \]

Упрощаем выражение:

\[ D = 1 - 8a + 16 \]

\[ D = 17 - 8a \]

Теперь у нас есть выражение для дискриминанта \(D\) в зависимости от \(a\).

Чтобы уравнение \((a-2)x^2 + x + 2 = 0\) имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: \(D = 0\). Подставим это условие в выражение для \(D\):

\[ 17 - 8a = 0 \]

Решим это уравнение относительно \(a\):

\[ 8a = 17 \]

\[ a = \frac{17}{8} \]

Таким образом, при \(a = \frac{17}{8}\) уравнение \((a-2)x^2 + x + 2 = 0\) имеет ровно одно решение.