При каких значениях m и n вектора а(вектор) и б(вектор) будут коллинеарны, если a(1; 0; 2), b(3

Лось

69

Для того чтобы выяснить, при каких значениях векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) будут коллинеарны, мы можем использовать следующий подход.

Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) являются коллинеарными, если один является кратным другого. То есть, если вектор \(\mathbf{b}\) является скалярным произведением вектора \(\mathbf{a}\), то они будут коллинеарны.

Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) может быть вычислено как:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
\]

где \(\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\)

В нашем случае, у нас есть вектор \(\mathbf{a}\) с компонентами \(a_1 = 1\), \(a_2 = 0\) и \(a_3 = 2\), а также вектор \(\mathbf{b}\) с компонентами \(b_1 = 3\), \(b_2 = m\) и \(b_3 = n\).

Подставляя эти значения в наше выражение для скалярного произведения, получаем:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot m + 2 \cdot n = 3 + 2n
\]

Теперь, для того чтобы векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) были коллинеарными, скалярное произведение должно быть равно нулю (то есть, \(3 + 2n = 0\)).

Давайте решим это уравнение для \(n\):

\[
3 + 2n = 0
\]

Вычитаем 3 из обеих сторон уравнения:

\[
2n = -3
\]

Делим обе стороны на 2:

\[
n = -\frac{3}{2}
\]

Таким образом, при \(m\) = любом значении и \(n = -\frac{3}{2}\), векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) будут коллинеарными.