При каких значениях параметра а уравнение 64^х+(а-4) 8^х+4--2а=0 будет иметь только один корень? Не могли

Pavel

7

Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу. Для начала, давайте проанализируем уравнение и посмотрим, как мы можем найти значения параметра a, при которых оно имеет только один корень.

Уравнение, которое дано, содержит две переменные: x и a. Чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение имеет только один корень, мы должны найти условия, при которых дискриминант этого уравнения будет равен нулю.

Дискриминант для данного уравнения может быть найден, используя формулу дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит следующим образом: \[D = b^2 - 4ac\]

Применим эту формулу к нашему уравнению. В нашем случае, \(a = 64^x\), \(b = (a-4)8^x\), и \(c = -2a-4\). Подставляя эти значения в формулу дискриминанта, мы получаем: \[D = [(a-4)8^x]^2 - 4(64^x)(-2a-4)\]

Чтобы найти значения параметра a, которые удовлетворяют условию только одного корня, мы должны найти значения, при которых D равен нулю. То есть, \[D = 0\]. Решим это уравнение, присвоив D значение нуль и решив полученное уравнение относительно параметра a.

\([(a-4)8^x]^2 - 4(64^x)(-2a-4) = 0\]

Приведем выражение к более простому виду, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые:

\[(a-4)^2 \cdot 64^x \cdot 8^{2x} - 4 \cdot (64^x) \cdot (-2a-4) = 0\]

Упростим это выражение, учитывая, что \(8^3 = 64\):

\[(a-4)^2 \cdot 64^x \cdot 8^{2x} + 8 \cdot (64^x) \cdot (a+2) = 0\]

Раскроем второе слагаемое на два множителя:

\[(a-4)^2 \cdot 64^x \cdot 8^{2x} + 8 \cdot 64^x \cdot a + 16 \cdot 64^x = 0\]

Заметим, что каждый член в этом уравнении содержит множитель \(64^x\). Мы можем поделить все слагаемые на \(64^x\), что приведет к следующему уравнению:

\[(a-4)^2 \cdot 8^{2x} + 8 \cdot a + 16 = 0\]

Теперь это уравнение является квадратным относительно параметра a. Давайте решим его, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

\((a-4)^2 \cdot 8^{2x} + 8a + 16 = 0\)

Раскроем скобку:

\(a^2 - 8a + 16 \cdot 8^{2x} + 8a + 16 = 0\)

Упростим это выражение:

\(a^2 + 16 \cdot 8^{2x} + 16 = 0\)

Теперь, чтобы уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

\(D = (16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 \cdot 8^{2x} + 16) = 0\)

Решим это уравнение:

\(256 - 64(16 \cdot 8^{2x} + 16) = 0\)

\(256 - 1024 \cdot 8^{2x} - 1024 = 0\)

\(-768 - 1024 \cdot 8^{2x} = 0\)

Упростим это уравнение, разделив все слагаемые на -256:

\(3 + 4 \cdot 8^{2x} = 0\)

Теперь, чтобы решить это уравнение относительно параметра x, пользуясь обычными методами, необходимо перейти от степенного уравнения к квадратному. Для этого мы предположим, что \(8^{2x} = t\).

\(1 + 4t = 0\)

Теперь решим это уравнение:

\(4t = -1\)

\(t = -\frac{1}{4}\)

Так как мы предположили, что \(8^{2x} = t\), то мы можем записать:

\(8^{2x} = -\frac{1}{4}\)

Теперь запишем это уравнение в виде степенного уравнения:

\(\left( 2^3 \right)^{2x} = -\frac{1}{4}\)

Упрощаем:

\(2^{6x} = -\frac{1}{4}\)

Применяем свойство отрицательной степени:

\(2^{6x} = \left( \frac{1}{2} \right)^2\)

Сравнивая два уравнения, получаем:

\(\frac{1}{2} = 2^x\)

Далее, применим логарифмирование:

\(\log_2{\left( \frac{1}{2} \right)} = \log_2{2^x}\)

\(-1 = x\)

Таким образом, при значении параметра a, равном 3, уравнение \(64^x+(a-4)8^x+4-2a=0\) будет иметь только один корень, который равен x = -1. Проверьте это решение, подставив его обратно в уравнение, чтобы убедиться, что все сходится и что это действительно единственное решение.