Чтобы определить, при каких значениях параметра функция монотонно возрастает на интервале , мы должны проанализировать производную этой функции на данном интервале и установить условия для того, чтобы она была положительной.
Сначала найдем производную функции по переменной :
Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:
Теперь нам нужно найти значения , при которых производная положительна на интервале . Для этого нам нужно решить неравенство .
Возьмем во внимание, что аргумент находится на интервале . Заменим символ на и в выражении неравенства:
и
Далее упростим эти неравенства:
и
и
Теперь решим каждое уравнение по отдельности:
Для первого уравнения:
Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта.
Дискриминант будет равен:
Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Если же дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Теперь найдем корни этого уравнения:
Значит, для первого неравенства функция монотонно возрастает на интервале при .
Теперь рассмотрим второе уравнение:
Это квадратное уравнение, также решим его с помощью дискриминанта:
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:
Значит, для второго неравенства функция монотонно возрастает на интервале при .
Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале при .
Пугающий_Пират 62
Чтобы определить, при каких значениях параметраСначала найдем производную функции
Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:
Теперь нам нужно найти значения
Возьмем во внимание, что аргумент
Далее упростим эти неравенства:
Теперь решим каждое уравнение по отдельности:
Для первого уравнения:
Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта.
Дискриминант
Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Если же дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Теперь найдем корни этого уравнения:
Значит, для первого неравенства
Теперь рассмотрим второе уравнение:
Это квадратное уравнение, также решим его с помощью дискриминанта:
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:
Значит, для второго неравенства
Таким образом, функция