При каких значениях параметра s функция y=1x3−3x monotonically increasing on the interval [2s−2;10s+10]?

Пугающий_Пират

62

Чтобы определить, при каких значениях параметра $s$ функция $y=1x^3-3x$ монотонно возрастает на интервале $[2s-2;10s+10]$, мы должны проанализировать производную этой функции на данном интервале и установить условия для того, чтобы она была положительной.

Сначала найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$$y"=\frac{d}{dx}(x^3-3x)$$

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

$$y"=3x^2-3$$

Теперь нам нужно найти значения $s$, при которых производная $y"$ положительна на интервале $[2s-2;10s+10]$. Для этого нам нужно решить неравенство $y">0$.

$$3x^2-3>0$$

Возьмем во внимание, что аргумент $x$ находится на интервале $[2s-2;10s+10]$. Заменим символ $x$ на $2s-2$ и $10s+10$ в выражении неравенства:

$$3(2s-2{)}^2-3>0$$ и $$3(10s+10{)}^2-3>0$$

Далее упростим эти неравенства:

$$12s^2-24s+12-3>0$$ и $$300s^2+600s+300-3>0$$

$$12s^2-24s+9>0$$ и $$300s^2+600s+297>0$$

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

Для первого уравнения: $12s^2-24s+9>0$

Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ будет равен:

$$D=(-24{)}^2-4\cdot 12\cdot 9$$
$$D=576-432$$
$$D=144$$

Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Если же дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Теперь найдем корни этого уравнения:

$$s_{1,2}=\frac{-(-24)\pm \sqrt{144}}{2\cdot 12}$$
$$s_{1,2}=\frac{24\pm 12}{24}$$
$$s_1=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$$
$$s_2=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$$

Значит, для первого неравенства $12s^2-24s+9>0$ функция $y=1x^3-3x$ монотонно возрастает на интервале $[2s-2;10s+10]$ при $s\in (\frac{1}{2};\frac{3}{2})$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $300s^2+600s+297>0$

Это квадратное уравнение, также решим его с помощью дискриминанта:

$$D=(600{)}^2-4\cdot 300\cdot 297$$
$$D=360000-356400$$
$$D=3600$$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:

$$s_{1,2}=\frac{-600\pm \sqrt{3600}}{2\cdot 300}$$
$$s_{1,2}=\frac{-600\pm 60}{600}$$
$$s_1=\frac{-540}{600}=-\frac{9}{10}$$
$$s_2=\frac{-660}{600}=-\frac{11}{10}$$

Значит, для второго неравенства $300s^2+600s+297>0$ функция $y=1x^3-3x$ монотонно возрастает на интервале $[2s-2;10s+10]$ при $s\in (-\frac{11}{10};-\frac{9}{10})$.

Таким образом, функция $y=1x^3-3x$ монотонно возрастает на интервале $[2s-2;10s+10]$ при $s\in (-\frac{11}{10};-\frac{9}{10})\cup (\frac{1}{2};\frac{3}{2})$.