При каких значениях параметра s функция y=1x3−3x monotonically increasing on the interval [2s−2;10s+10]?

Пугающий_Пират

62

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(s\) функция \(y=1x^3-3x\) монотонно возрастает на интервале \([2s-2;10s+10]\), мы должны проанализировать производную этой функции на данном интервале и установить условия для того, чтобы она была положительной.

Сначала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx} (x^3-3x)\]

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

\[y" = 3x^2 - 3\]

Теперь нам нужно найти значения \(s\), при которых производная \(y"\) положительна на интервале \([2s-2;10s+10]\). Для этого нам нужно решить неравенство \(y" > 0\).

\[3x^2 - 3 > 0\]

Возьмем во внимание, что аргумент \(x\) находится на интервале \([2s-2;10s+10]\). Заменим символ \(x\) на \(2s-2\) и \(10s+10\) в выражении неравенства:

\[3(2s-2)^2 - 3 > 0\] и \[3(10s+10)^2 - 3 > 0\]

Далее упростим эти неравенства:

\[12s^2 - 24s + 12 - 3 > 0\] и \[300s^2 + 600s + 300 - 3 > 0\]

\[12s^2 - 24s + 9 > 0\] и \[300s^2 + 600s + 297 > 0\]

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

Для первого уравнения: \(12s^2 - 24s + 9 > 0\)

Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) будет равен:

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 9\]
\[D = 576 - 432\]
\[D = 144\]

Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Если же дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Теперь найдем корни этого уравнения:

\[s_{1,2} = \frac{-(-24) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 12}\]
\[s_{1,2} = \frac{24 \pm 12}{24}\]
\[s_1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}\]
\[s_2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\]

Значит, для первого неравенства \(12s^2 - 24s + 9 > 0\) функция \(y=1x^3-3x\) монотонно возрастает на интервале \([2s-2;10s+10]\) при \(s \in \left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\).

Теперь рассмотрим второе уравнение: \(300s^2 + 600s + 297 > 0\)

Это квадратное уравнение, также решим его с помощью дискриминанта:

\[D = (600)^2 - 4 \cdot 300 \cdot 297\]
\[D = 360000 - 356400\]
\[D = 3600\]

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:

\[s_{1,2} = \frac{-600 \pm \sqrt{3600}}{2 \cdot 300}\]
\[s_{1,2} = \frac{-600 \pm 60}{600}\]
\[s_1 = \frac{-540}{600} = -\frac{9}{10}\]
\[s_2 = \frac{-660}{600} = -\frac{11}{10}\]

Значит, для второго неравенства \(300s^2 + 600s + 297 > 0\) функция \(y=1x^3-3x\) монотонно возрастает на интервале \([2s-2;10s+10]\) при \(s \in \left(-\frac{11}{10}; -\frac{9}{10}\right)\).

Таким образом, функция \(y=1x^3-3x\) монотонно возрастает на интервале \([2s-2;10s+10]\) при \(s \in \left(-\frac{11}{10}; -\frac{9}{10}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\).