При каких значениях параметра s функция y=1x3−3x monotonically increasing on the interval [2s−2;10s+10]?

  • 52
При каких значениях параметра s функция y=1x3−3x monotonically increasing on the interval [2s−2;10s+10]?
Пугающий_Пират
62
Чтобы определить, при каких значениях параметра s функция y=1x33x монотонно возрастает на интервале [2s2;10s+10], мы должны проанализировать производную этой функции на данном интервале и установить условия для того, чтобы она была положительной.

Сначала найдем производную функции y по переменной x:
y"=ddx(x33x)

Применим правило дифференцирования степенной функции и константы:

y"=3x23

Теперь нам нужно найти значения s, при которых производная y" положительна на интервале [2s2;10s+10]. Для этого нам нужно решить неравенство y">0.

3x23>0

Возьмем во внимание, что аргумент x находится на интервале [2s2;10s+10]. Заменим символ x на 2s2 и 10s+10 в выражении неравенства:

3(2s2)23>0 и 3(10s+10)23>0

Далее упростим эти неравенства:

12s224s+123>0 и 300s2+600s+3003>0

12s224s+9>0 и 300s2+600s+297>0

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

Для первого уравнения: 12s224s+9>0

Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант D будет равен:

D=(24)24129
D=576432
D=144

Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Если же дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Теперь найдем корни этого уравнения:

s1,2=(24)±144212
s1,2=24±1224
s1=3624=32
s2=1224=12

Значит, для первого неравенства 12s224s+9>0 функция y=1x33x монотонно возрастает на интервале [2s2;10s+10] при s(12;32).

Теперь рассмотрим второе уравнение: 300s2+600s+297>0

Это квадратное уравнение, также решим его с помощью дискриминанта:

D=(600)24300297
D=360000356400
D=3600

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:

s1,2=600±36002300
s1,2=600±60600
s1=540600=910
s2=660600=1110

Значит, для второго неравенства 300s2+600s+297>0 функция y=1x33x монотонно возрастает на интервале [2s2;10s+10] при s(1110;910).

Таким образом, функция y=1x33x монотонно возрастает на интервале [2s2;10s+10] при s(1110;910)(12;32).