При каких значениях переменной будет иметь смысл выражение √(32-8x) + 3/(x+1)?

Музыкальный_Эльф

25

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу.

Итак, у нас есть выражение \(\sqrt{32 - 8x} + \frac{3}{x + 1}\), и мы хотим найти значения переменной \(x\), при которых это выражение имеет смысл.

Давайте начнем с анализа верхней части выражения, \(\sqrt{32 - 8x}\). Внутри квадратного корня у нас есть выражение \(32 - 8x\). Чтобы квадратный корень был определенным и имел смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:

\[32 - 8x \geq 0\]

Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения \(x\), при которых выражение станет неотрицательным. Решим его:

\[32 - 8x \geq 0\]
\[-8x \geq -32\]
\[x \leq 4\]

Получается, что выражение под корнем будет иметь смысл, когда \(x \leq 4\).

Теперь давайте рассмотрим нижнюю часть выражения, \(\frac{3}{x + 1}\). Здесь мы имеем деление на \(x + 1\), поэтому чтобы выражение имело смысл, знаменатель должен быть отличен от нуля. Итак:

\[x + 1 \neq 0\]
\[x \neq -1\]

Таким образом, выражение \(\frac{3}{x + 1}\) будет иметь смысл для всех значений \(x\), кроме \(x = -1\).

Теперь, чтобы найти значения переменной \(x\), при которых всё выражение \(\sqrt{32 - 8x} + \frac{3}{x + 1}\) имеет смысл, мы комбинируем оба условия, которые мы получили:

\[x \leq 4\] и \(x \neq -1\)

Таким образом, для этого выражения имеет смысл любое значение \(x\), которое удовлетворяет этим условиям: \(x \leq 4\) и \(x \neq -1\).