Как найти решение уравнения cos7x - cosx

Mister

29

Конечно! Чтобы найти решение уравнения \(\cos(7x) - \cos(x)\), мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу для разности косинусов:

\[\cos(A) - \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{{A + B}}{2}\right) \sin\left(\frac{{A - B}}{2}\right)\]

Где в данном случае \(A = 7x\) и \(B = x\):

\[\cos(7x) - \cos(x) = -2 \sin\left(\frac{{7x + x}}{2}\right) \sin\left(\frac{{7x - x}}{2}\right)\]

Упростив выражение, получим:

\[\cos(7x) - \cos(x) = -2 \sin\left(\frac{{8x}}{2}\right) \sin\left(\frac{{6x}}{2}\right)\]

Продолжим упрощение:

\[\cos(7x) - \cos(x) = -2 \sin\left(4x\right) \sin\left(3x\right)\]

Итак, мы получили эквивалентное выражение для исходного уравнения. Чтобы найти его решение, необходимо установить значения \(x\), при котором выражение равно нулю.

Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть нулем. Таким образом, у нас должно быть либо \(\sin(4x) = 0\), либо \(\sin(3x) = 0\).

Для \(\sin(4x) = 0\), мы должны найти значения \(x\), при которых синус 4x равен нулю. Синус равен нулю при аргументе, равном кратному \(\pi\), то есть \(4x = n\pi\), где \(n\) - целое число. Таким образом, мы получаем следующие решения:

\[x_1 = \frac{{n\pi}}{4}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}\]

Для \(\sin(3x) = 0\), нам нужно найти значения \(x\), при которых синус 3x равен нулю. Синус равен нулю при аргументе, кратном \(\pi\), то есть \(3x = m\pi\), где \(m\) - целое число. Получаем следующие решения:

\[x_2 = \frac{{m\pi}}{3}, \text{ где } m \in \mathbb{Z}\]

Таким образом, общее множество решений уравнения \(\cos(7x) - \cos(x) = 0\) задается формулой:

\[x = \{x_1, x_2\} = \left\{\frac{{n\pi}}{4}, \frac{{m\pi}}{3}\right\}, \text{ где } n, m \in \mathbb{Z}\]

Надеюсь, это понятно и полезно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.