При каких значениях t корни уравнения х2+тх-11=0 будут противоположными числами?

Маргарита

61

Чтобы найти значения t, при которых корни уравнения будут противоположными числами, нам нужно вспомнить свойство корней квадратного уравнения. Если у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\), то сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

В данном случае у нас есть уравнение \(x^2 + tx - 11 = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то у уравнения есть два различных вещественных корня. Если \(D = 0\), то у уравнения есть один вещественный корень, а если \(D < 0\), то уравнение имеет два комплексных корня.

Перед тем, как приступить к решению, найдём выражения для суммы и произведения корней нашего уравнения:

Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(-\frac{t}{1}\), т.е. \(-t\).

Произведение корней \(x_1\) и \(x_2\) равно \(\frac{-11}{1}\), т.е. \(-11\).

Теперь, чтобы корни уравнения были противоположными числами, их сумма должна быть равна нулю, а произведение должно быть отрицательным числом. То есть у нас следующие условия:

\[
\begin{align*}
-t &= 0 \\
-11 &< 0
\end{align*}
\]

Решим первое уравнение:

\[
-t = 0 \Rightarrow t = 0
\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 + tx - 11 = 0\) будут противоположными числами при \(t = 0\).

Второе условие, что произведение корней должно быть отрицательным числом, выполняется всегда, так как у нас есть отрицательное число \(-11\) в уравнении.

Таким образом, при \(t = 0\) корни данного уравнения будут противоположными числами.