При каком отношении массы второго бруска m2 к массе первого бруска m1, после столкновения второй брусок остановится
При каком отношении массы второго бруска m2 к массе первого бруска m1, после столкновения второй брусок остановится на расстоянии b? Учитывайте коэффициенты трения μ1 и μ2 первого и второго брусков соответственно.
Золотой_Медведь_4180 17
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать законы сохранения импульса и энергии.Сначала рассмотрим закон сохранения импульса. Пусть \(v_1\) и \(v_2\) - скорости первого и второго брусков соответственно перед столкновением, а \(v_1"\) и \(v_2"\) - скорости после столкновения. Так как внешние силы отсутствуют, то сумма импульсов до и после столкновения должна быть одинакова:
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2" \hspace{20pt} (1)\]
Затем рассмотрим закон сохранения энергии. На бруска действуют силы трения, поэтому энергия системы не сохраняется полностью. Однако, мы можем использовать энергию, чтобы выразить скорость второго бруска после столкновения. Полная энергия системы до столкновения равна полной энергии системы после столкновения:
\[(m_1 + m_2)\frac{{v_1^2}}{2} = \left(\frac{{m_1{v_1"}^2}}{2}\right) + \left(\frac{{m_2{v_2"}^2}}{2}\right) \hspace{20pt} (2)\]
Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), которые мы можем использовать для решения задачи.
Давайте рассмотрим пошаговое решение:
Шаг 1: Решение уравнения (1) относительно \(v_2"\):
Из уравнения (1) выразим \(v_2"\):
\[v_2" = \frac{{m_1v_1 - m_1v_1" + m_2v_2}}{m_2} \hspace{20pt} (3)\]
Шаг 2: Подставим \(v_2"\) из уравнения (3) в уравнение (2) и решим его относительно \(v_1"\):
Подставим выражение для \(v_2"\) из уравнения (3) в уравнение (2):
\[(m_1 + m_2)\frac{{v_1^2}}{2} = \left(\frac{{m_1{v_1"}^2}}{2}\right) + \left(\frac{{m_2}{\left(\frac{{m_1v_1 - m_1v_1" + m_2v_2}}{m_2}\right)}^2}{2}\right)\]
Упростим:
\[(m_1 + m_2)\frac{{v_1^2}}{2} = \left(\frac{{m_1{v_1"}^2}}{2}\right) + \frac{{(m_1v_1 - m_1v_1" + m_2v_2)^2}}{2}\]
Шаг 3: Разрешим уравнение относительно \(v_1"\):
Выразим \(v_1"\):
\[\frac{{m_1{v_1"}^2}}{2} = (m_1 + m_2)\frac{{v_1^2}}{2} - \frac{{(m_1v_1 - m_1v_1" + m_2v_2)^2}}{2}\]
Упростим:
\[m_1{v_1"}^2 = 2(m_1 + m_2)v_1^2 - (m_1v_1 - m_1v_1" + m_2v_2)^2\]
\[m_1{v_1"}^2 = 2(m_1 + m_2)v_1^2 - (m_1v_1 - m_1v_1")^2 + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2\]
Раскроем скобки:
\[m_1{v_1"}^2 = 2(m_1 + m_2)v_1^2 - (m_1^2{v_1}^2 - 2m_1^2v_1v_1" + m_1^2{v_1"}^2) + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2\]
Упростим:
\[m_1{v_1"}^2 - 2m_1^2v_1v_1" + m_1^2{v_1}^2 = 2(m_1 + m_2)v_1^2 - m_1^2{v_1"}^2 + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2\]
\[m_1{v_1"}^2 + m_1^2{v_1"}^2 = 2(m_1 + m_2)v_1^2 + m_1^2{v_1}^2 + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2 + 2m_1^2v_1v_1"\]
\[v_1"^2(m_1 + m_1^2) = 2(m_1 + m_2)v_1^2 + m_1^2{v_1}^2 + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2 + 2m_1^2v_1v_1"\]
\[v_1"^2 = \frac{{2(m_1 + m_2)v_1^2 + m_1^2{v_1}^2 + 2m_2v_2(m_1v_1 - m_1v_1") + m_2^2v_2^2 + 2m_1^2v_1v_1"}}{{m_1 + m_1^2}}\]
Шаг 4: Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(v_1"\):
Подставим значения коэффициентов трения \(\mu_1\) и \(\mu_2\) в формулы для силы трения:
\[F_{\text{трения1}} = \mu_1 \cdot m_1 \cdot g\]
\[F_{\text{трения2}} = \mu_2 \cdot m_2 \cdot g\]
где \(g\) - ускорение свободного падения.