При каком значении параметра p производная функции f(x,y) = вдоль линии, идущей из начала координат к точке A(5;p

Оса

53

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти значение параметра p, при котором производная функции f(x,y) вдоль линии, идущей из начала координат к точке A(5;p), будет равна нулю.

Для начала, давайте найдем уравнение этой линии. Линия проходит через начало координат (0,0) и точку A(5;p). Общее уравнение прямой можно записать как y = mx + c, где m - это наклон прямой, а c - это свободный член.

Чтобы найти наклон прямой m, мы можем использовать формулу:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты начала координат (0,0) и точки A(5;p) в формулу:

m = (p - 0) / (5 - 0)
m = p / 5

Теперь мы можем записать уравнение линии в виде:

y = (p / 5) * x

Итак, у нас есть уравнение линии. Теперь нам нужно найти производную функции f(x,y) вдоль этой линии и приравнять его к нулю.

Функция f(x,y) = x^2 + y^2, где x и y - это переменные.

Подставим уравнение линии в функцию f(x,y):

f(x, (p / 5) * x) = x^2 + ((p / 5) * x)^2
f(x, (p / 5) * x) = x^2 + (p^2 / 25) * x^2
f(x, (p / 5) * x) = (1 + (p^2 / 25)) * x^2

Теперь найдем производную функции f(x, (p / 5) * x) по переменной x. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и объединим их:

f"(x, (p / 5) * x) = 2 * x * (1 + (p^2 / 25))

Теперь у нас есть производная функции f(x, (p / 5) * x) по переменной x. Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, нужно решить уравнение:

2 * x * (1 + (p^2 / 25)) = 0

Это уравнение будет равным нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. x = 0:
Если x = 0, то производная равна нулю, независимо от значения параметра p.

2. 1 + (p^2 / 25) = 0:
Решим это уравнение относительно параметра p:

p^2 / 25 = -1
p^2 = -25

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, второй случай не имеет решений.

Таким образом, значение параметра p не имеет значения в данной задаче, так как производная функции будет равна нулю только при x = 0.