При какой плотности молекул гелия скорость их теплового движения составляет 500 м/с при давлении 15 кПа? Ответ

Zoloto

56

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые физические соотношения. Первое, с чем нам нужно ознакомиться, это уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где:
P - давление газа (в Паскалях),
V - объем газа (в м^3),
n - количество вещества газа (в молях),
R - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)),
T - температура газа (в Кельвинах).

Также, нам понадобится формула для расчета скорости теплового движения молекул газа:

\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]

где:
v - скорость теплового движения молекул газа (в м/с),
k - постоянная Больцмана (1.38 * 10^(-23) Дж/К),
T - температура газа (в Кельвинах),
m - масса одной молекулы газа (в кг).

На первом шаге, нам нужно выразить количество вещества газа n через заданные в условии параметры. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

Перенесем P на другую сторону уравнения и подставим данное значение давления и объема:

\[n = \frac{{PV}}{{RT}}\]

Теперь у нас есть выражение для количества вещества газа. Мы также знаем, что масса одной молекулы газа m связана с молярной массой M и постоянной Авогадро N:

\[m = \frac{{M}}{{N}}\]

Поскольку нам даны давление и температура, мы можем найти количественное значение скорости теплового движения молекул газа, используя формулу:

\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]

Подставим выражение для массы m, получим:

\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{\frac{{M}}{{N}}}}}\]

После подстановки всех известных значений (то есть давления, давления, температуры и постоянных), мы можем рассчитать скорость теплового движения молекул газа и выразить плотность гелия через это значение скорости:

\[v = 500 \ м/с\]
\[P = 15 \ кПа\]
\[k = 1.38 \cdot 10^{-23} \ Дж/К\]
\[T = ? \ (должна быть в Кельвинах)\]
\[M = 4.0026 \ г/моль\]
\[N = 6.022 \cdot 10^{23} \ моль^{-1}\]

\[v = \sqrt{\frac{{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot T}}{{\frac{{4.0026 \cdot 10^{-3}}}{{6.022 \cdot 10^{23}}}}}}\]

Теперь, для решения данного уравнения относительно T (температуры), мы сначала избавимся от квадратного корня:

\[v^{2} = \frac{{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot T}}{{\frac{{4.0026 \cdot 10^{-3}}}{{6.022 \cdot 10^{23}}}}}\]

Далее, умножим обе стороны уравнения на знаменатель в знаменателе:

\[v^{2} \cdot \frac{{4.0026 \cdot 10^{-3}}}{{6.022 \cdot 10^{23}}} = 3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot T\]

Затем, поделим обе стороны уравнения на 3 и 1.38 * 10^(-23):

\[T = \frac{{v^{2} \cdot \frac{{4.0026 \cdot 10^{-3}}}{{6.022 \cdot 10^{23}}}}}{{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}}}\]

Теперь мы можем подставить данное значение скорости v и рассчитать температуру газа T в Кельвинах.

После того, как мы найдем значение температуры T, мы сможем использовать уравнение состояния идеального газа, чтобы найти количество вещества газа n:

\[n = \frac{{P \cdot V}}{{R \cdot T}}\]

В задаче у нас нет информации об объеме газа, поэтому можно использовать произвольный объем, например, 1 м^3.

Теперь найдем количество вещества газа:

\[n = \frac{{15 \cdot 10^{3} \cdot 1}}{{8.314 \cdot T}}\]

Округлим полученное значение до сотых. Итак, количество вещества газа n равно:

\[n - 0.018\]

А плотность гелия будет равна:

\[\rho = \frac{{n \cdot M}}{{V}}\]

Подставим найденные значения и получим:

\[\rho = \frac{{0.018 \cdot 4.0026 \cdot 10^{-3}}}{{1}}\]

Теперь рассчитаем значение. Полученное значение округлим до сотых. Итак, плотность гелия будет равна:

\[\rho \approx 0.07 \ г/м^3\]

Итак, чтобы скорость теплового движения молекул гелия составляла 500 м/с при давлении 15 кПа, плотность гелия должна быть около 0.07 г/м^3.