При какой температуре вероятность обнаружить электрон с кинетической энергией 9,76*10^(-19) дж в платине равна 0,02?

Drakon

46

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые данные о свойствах платины. Электроны в материалах двигаются по энергетическим уровням, и вероятность обнаружить электрон с определенной кинетической энергией зависит от температуры. Для нахождения искомой температуры нам потребуются два основных уравнения.

Первое уравнение - это распределение Ферми-Дирака, которое описывает, как заполняются энергетические уровни электронами. Формула для этого распределения выглядит следующим образом:

\[f(E) = \frac{1}{1 + e^{\frac{E - \mu}{kT}}}\]

Где f(E) - вероятность заполнения энергетического уровня с энергией E, \(\mu\) - химический потенциал (зависит от температуры), k - постоянная Больцмана и T - температура.

Второе уравнение связывает вероятность заполнения энергетических уровней с кинетической энергией электрона и температурой. Формула для этого уравнения:

\[f(E) = e^{\frac{-E}{kT}}\]

Где f(E) - вероятность обнаружения электрона с кинетической энергией E, k - постоянная Больцмана и T - температура.

Теперь, чтобы решить задачу, мы должны приравнять две формулы и найти значение T.

\[e^{\frac{-E}{kT}} = \frac{1}{1 + e^{\frac{E - \mu}{kT}}}\]

Для удобства давайте воспользуемся еще одним свойством экспоненты.

\[e^{\frac{-E}{kT}} = \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}}\]

Подставим это в уравнение:

\[\frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} = \frac{1}{1 + e^{\frac{E - \mu}{kT}}}\]

Теперь можем убрать дроби, инвертируя обе стороны уравнения:

\[e^{\frac{E}{kT}} = 1 + e^{\frac{E - \mu}{kT}}\]

Разделим обе части уравнения на \(e^{\frac{E}{kT}}\):

\[1 = \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} + \frac{e^{\frac{E - \mu}{kT}}}{e^{\frac{E}{kT}}}\]

Приведем общий знаменатель второго слагаемого:

\[1 = \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} + e^{\frac{(E - \mu) - E}{kT}}\]

\[1 = \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} + e^{\frac{-\mu}{kT}}\]

Теперь, если переместить слагаемое со знаменателем налево, получится:

\[ \frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} = 1 - e^{\frac{-\mu}{kT}} \]

Используя снова свойство экспоненты, упростим выражение:

\[\frac{1}{e^{\frac{E}{kT}}} = \frac{e^{ \frac{-\mu}{kT} }}{e^{ \frac{ -E}{kT} }}\]

Таким образом, мы получили равенство двух экспонент:

\[e^{ \frac{-E}{kT} } = e^{ \frac{-\mu}{kT} }\]

Теперь из этого уравнения следует, что:

\[\frac{-E}{kT} = \frac{-\mu}{kT}\]

Или, после сокращения на \(kT\), получаем:

\[-E = -\mu\]

Теперь можем найти значение температуры. Для этого необходимо знать оправдание или значение химического потенциала \(\mu\). К сожалению, эта информация не предоставлена в условии задачи. Если у вас есть значения для \(\mu\), пожалуйста, предоставьте их, и я помогу вам решить задачу.