При определенном соотношении концентраций электронов и дырок в кремнии, значение ЭДС Холла становится равным нулю. Если

Yagoda

47

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать соотношение ЭДС Холла и удельного сопротивления кристалла.

ЭДС Холла определяется формулой:
\[E_H = \frac{B \cdot I}{n \cdot e \cdot d}\]
где:
\(E_H\) - ЭДС Холла,
\(B\) - магнитная индукция,
\(I\) - сила тока,
\(n\) - концентрация (плотность) носителей заряда,
\(e\) - заряд электрона,
\(d\) - толщина образца.

Удельное сопротивление кристалла связано с концентрацией (плотностью) носителей заряда и их подвижностью следующей формулой:
\[\rho = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu}\]
где:
\(\rho\) - удельное сопротивление,
\(\mu\) - подвижность носителей заряда.

Теперь, нам нужно рассчитать концентрацию носителей заряда в исходном состоянии согласно условию задачи. Поскольку подвижность электронов и дырок одинакова, тогда их концентрации равны.

Из формулы для удельного сопротивления:
\[\rho = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu}\]
получаем:
\[n = \frac{1}{\rho \cdot e \cdot \mu}\]

Подставим известные значения и рассчитаем концентрацию \(n\):
\[\rho = 0.01 \, Ом \cdot м\]
\[e = 1.6 \times 10^{-19} \, Кл\]
\(\mu \, (электроны) = 0.12 \, м^2/(В \cdot с)\)

\[\mu \, (дырки) = 0.05 \, м^2/(В \cdot с)\]

\(\mu_{ср} = \frac{\mu_{электроны} + \mu_{дырки}}{2}\)

\[n = \frac{1}{0.01 \cdot 1.6 \times 10^{-19} \cdot 0.12}\]
\[n = 52083333.33\, м^{-3}\]

Теперь мы можем подставить полученное значение концентрации \(n\) в формулу для ЭДС Холла и рассчитать массу легирующей добавки мышьяка.

Размер образца пластины кремния составляет \(100 \, мм^3 = 10^{-6} \, м^3\).

Для простоты расчета, предположим, что концентрация легирующей добавки равномерно распределена по образцу.

Введем массу добавки как \(m\) (в килограммах).

Масса легирующей добавки связана с концентрацией засоряющего вещества такой формулой:
\[m = \frac{n \cdot V \cdot M}{N_A}\]
где:
\(V\) - объем образца,
\(M\) - молярная масса добавки (мышьяка),
\(N_A\) - число Авогадро.

Подставим известные значения и рассчитаем массу легирующей добавки \(m\):
\[n = 52083333.33\, м^{-3}\]
\[V = 10^{-6} \, м^3\]
\[M \, (мышьяк) = 74.92 \, \frac{г}{моль}\]
\[N_A = 6.022 \times 10^{23} \, м^{-3}\]

\[m = \frac{52083333.33 \cdot 10^{-6} \cdot 74.92}{6.022 \times 10^{23}}\]
\[m \approx 4.06 \times 10^{-14} \, кг\]

Таким образом, чтобы достичь удельного сопротивления кристалла в 0.01 Ом*м, необходимо ввести примерно 4.06 пикограмма легирующей добавки мышьяка в пластину кремния объемом 100 мм3 при равномерном распределении примесей.