При взаимодействии со шумом каждый входной символ в двоичной связи независимо изменяет свое значение с вероятностью

Izumrud

7

Для решения данной задачи нам необходимо определить распределение вероятностей входного алфавита \(P_X\) и выходного алфавита \(P_Y\).

Для начала, давайте рассмотрим входной алфавит \(X\) и его кодовые векторы:

\[X = \{{x_1, x_2, x_3, x_4}\} = \{{\{0,0\}, \{0,1\}, \{1,0\}, \{1,1\}}\}\]

Так как каждое сообщение может быть передано с равной вероятностью, то вероятности каждого кодового вектора равны:

\[P(x_1) = P(x_2) = P(x_3) = P(x_4) = \frac{1}{4}\]

Теперь рассмотрим выходной алфавит \(Y\) и зарегистрированные на выходе сигналы:

\[Y = \{{y_1, y_2, y_3, y_4}\} = \{{\{0,0\}, \{0,1\}, \{1,0\}, \{1,1\}}\}\]

Так как каждый входной символ независимо изменяет своё значение с вероятностью \(1-q\), то вероятности выходных сигналов равны:

\[P(y_1) = P(y_2) = P(y_3) = P(y_4) = (1-q)^2\]

Таким образом, мы определили распределение вероятностей для входного алфавита \(X\) и выходного алфавита \(Y\):

\[P_X = \{{P(x_1) = \frac{1}{4}, P(x_2) = \frac{1}{4}, P(x_3) = \frac{1}{4}, P(x_4) = \frac{1}{4}}\}\]

\[P_Y = \{{P(y_1) = (1-q)^2, P(y_2) = (1-q)^2, P(y_3) = (1-q)^2, P(y_4) = (1-q)^2}\}\]

Такое распределение вероятностей означает, что каждый входной и выходной символ имеет одинаковую вероятность появиться. Входные символы \(x_1, x_2, x_3, x_4\) и выходные символы \(y_1, y_2, y_3, y_4\) появляются с равной вероятностью в системе. Однако, вероятность ошибки \((1-q)\) влияет на вероятность каждого выходного символа. Чем больше вероятность ошибки, тем меньше вероятность каждого выходного символа.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять, как определить распределение вероятностей входного и выходного алфавита в данной задаче. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.