При якому найменшому розмірі круглої непрозорої пластини, що плаває на поверхні води, таким чином, щоб промені світла

Ягуар

61

Для розв"язання цієї задачі, ми можемо скористатися законом преломлення світла - законом Снелліуса. Закон Снелліуса визначає залежність між кутом падіння світла на границю розділу двох середовищ та кутом преломлення цього світла.

У нашому випадку, світло йде від точкового джерела на дні посудини, через воду і потім знову у повітря. Щоб світло не виходило з води, ми маємо забезпечити, щоб кут преломлення був рівний чи більший за 90 градусів.

За законом Снелліуса, кут падіння \( \theta_1 \) та кут преломлення \( \theta_2 \) пов"язані наступним співвідношенням:

\[ \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1} \]

де \( n_1 \) та \( n_2 \) - показники заломлення першого та другого середовищ.

У випадку нашої задачі, першим середовищем є повітря з показником заломлення \( n_1 = 1 \), а другим середовищем є вода з показником заломлення \( n_2 = 1.33 \) (приблизна значення для показника заломлення води).

Так як ми хочемо, щоб світло не виходило з води, значить \( \theta_2 \) повинен бути рівний або більший за 90 градусів. Це означає, що \( \sin \theta_2 \geq 1 \).

Застосовуючи цей факт і переписуючи формулу закону Снелліуса, ми отримуємо:

\[ \sin \theta_1 \geq \frac{n_2}{n_1} = 1.33 \]

Тепер нам потрібно знайти максимальне значення \( \sin \theta_1 \), яке може бути досягнуте. Максимальне значення \( \sin \theta_1 \) відповідає значенню 1, що досягається при \( \theta_1 = 90 \) градусів.

Таким чином, щоб промені світла не виходили з води, ми повинні забезпечити, щоб \( \theta_1 \geq 90 \) градусів. Це може бути досягнуто, наприклад, коли промені падають на поверхню води під кутом 90 градусів (тобто перпендикулярно до поверхні води).

Отже, для досягнення цієї умови, можна взяти найменший розмір круглої пластини, яка повинна бути рівна діаметру кола площи скидання променів. Позначимо цей розмір як \( d \).

Площа скидання променів на поверхню води в цьому випадку є колом з радіусом \( \frac{d}{2} \). Таким чином, ми маємо рівність:

\[ \frac{\pi (\frac{d}{2})^2}{\pi (R^2)} = \sin^2 \theta_1 \]

де \( R \) - радіус пластини.

З останньої рівності, ми можемо виразити \( R \):

\[ R = \frac{d}{2 \sin \theta_1} \]

Тому, для досягнення умови \( \theta_1 \geq 90 \) градусів, найменший розмір круглої непрозорої пластини, що може утримувати промені в воді, повинен бути \( 2R \), тобто \( d = 2R \geq 2 \times \frac{d}{2 \sin \theta_1} = \cfrac{1}{\sin \theta_1} \).

Отже, найменший розмір пластини повинен бути рівний або більший за \( \cfrac{1}{\sin \theta_1} \), де \( \theta_1 \) - кут падіння світла, що дорівнює або більший за 90 градусів, коли промені падають перпендикулярно до поверхні води.

Будь ласка, подивіться, які значення будуть приймати вираз \( \cfrac{1}{\sin \theta_1} \) при різних значеннях \( \theta_1 \) та виберіть найменше значення, що задовольняє умові \( d = 2R \geq \cfrac{1}{\sin \theta_1} \).