При якому значенні параметра а система рівнянь має безліч розв язків {-3х+ау=-6 {9х-3у=18

Artur

69

Чтобы определить при каком значении параметра \(а\) система решений имеет бесконечно много, мы должны проанализировать систему уравнений и выяснить условия, при которых она становится зависимой или неопределенной.

Данная система уравнений:

\[
\begin{align*}
-3x + ay &= -6 \\
9x - 3y &= 18
\end{align*}
\]

Для начала, давайте приведем уравнения к простому виду. Распишем первое уравнение:

\[
-3x + ay = -6
\]

Теперь умножим второе уравнение на \(\frac{1}{3}\), чтобы сделать коэффициент при \(x\) таким же, как в первом уравнении:

\[
3x - y = 6
\]

Теперь у нас есть система уравнений, которая выглядит следующим образом:

\[
\begin{align*}
-3x + ay &= -6 \\
3x - y &= 6
\end{align*}
\]

Мы можем заметить, что оба уравнения имеют одинаковое левое выражение \(-3x + ay\) и \(-3x + ay\). Это говорит нам о том, что эти уравнения являются пропорциональными или линейно зависимыми.

Теперь, чтобы система уравнений стала зависимой или неопределенной, мы должны проверить, соответствуют ли ей следующие условия:

1. Коэффициенты \(a\) в обоих уравнениях должны быть пропорциональными.
2. Правые части обоих уравнений также должны быть пропорциональными.

Посмотрим на коэффициенты \(a\) и правые части обоих уравнений:

Коэффициенты \(a\):
У первого уравнения: \(a\)
У второго уравнения: -1

Правые части:
У первого уравнения: -6
У второго уравнения: 6

Условия для зависимости или неопределенности не выполняются, так как коэффициенты \(a\) не пропорциональны и правые части не пропорциональны.

Следовательно, система уравнений будет иметь единственное решение при любом значении параметра \(a\).