При якому значенні x вектор а буде мати модуль дорівнює 10, якщо: а) a= (6; х); б) a= (х – 1; 6); в) а = (x; x+2

Самбука

17

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

а) У нас есть вектор a = (6; х). Чтобы определить значение x, при котором модуль вектора a будет равен 10, мы должны воспользоваться формулой модуля вектора:

\(|a| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - это компоненты вектора a. В нашем случае, \(x_1 = 6\) и \(x_2 = x\), поэтому мы можем записать:

\(\sqrt{6^2 + x^2} = 10\).

Теперь возводим это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(6^2 + x^2 = 10^2\),

\(36 + x^2 = 100\).

Вычитаем 36 из обеих частей уравнения:

\(x^2 = 100 - 36\),

\(x^2 = 64\).

Теперь извлекаем квадратный корень:

\(x = \pm \sqrt{64}\).

Получаем два значения x: \(x = 8\) и \(x = -8\), так как квадратный корень может иметь и положительное, и отрицательное значение.

б) Вектор a = (х – 1; 6). Процедура решения будет аналогичной предыдущему пункту:

\(\sqrt{(x - 1)^2 + 6^2} = 10\).

Возводим уравнение в квадрат и упрощаем:

\((x - 1)^2 + 36 = 100\),

\(x^2 - 2x + 1 + 36 = 100\),

\(x^2 - 2x + 37 = 100\).

Вычитаем 37 из обеих частей уравнения:

\(x^2 - 2x = 100 - 37\),

\(x^2 - 2x = 63\).

Теперь факторизуем уравнение:

\(x^2 - 2x - 63 = 0\).

Это квадратное уравнение, и мы можем решить его, факторизуя или применив квадратное уравнение:

\((x - 9)(x + 7) = 0\).

Таким образом, мы получаем два значения x: \(x = 9\) и \(x = -7\).

в) Вектор a = (x; x+2). Проделываем ту же процедуру:

\(\sqrt{x^2 + (x + 2)^2} = 10\).

Возводим уравнение в квадрат и упрощаем:

\(x^2 + (x + 2)^2 = 100\),

\(x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 100\),

\(2x^2 + 4x + 4 = 100\).

Вычитаем 4 из обеих частей уравнения:

\(2x^2 + 4x = 96\).

Теперь делим обе части уравнения на 2:

\(x^2 + 2x = 48\).

Факторизуем уравнение:

\(x^2 + 2x - 48 = 0\).

Это квадратное уравнение, и мы можем факторизовать его:

\((x - 6)(x + 8) = 0\).

Таким образом, мы получаем два значения x: \(x = 6\) и \(x = -8\).

г) Вектор a = (x + 2; 3x - 4). Процедура решения такая же:

\(\sqrt{(x + 2)^2 + (3x - 4)^2} = 10\).

Возводим уравнение в квадрат и упрощаем:

\(x^2 + 4x + 4 + 9x^2 - 24x + 16 = 100\),

\(10x^2 - 20x + 20 = 100\).

Вычитаем 100 из обеих частей уравнения:

\(10x^2 - 20x - 80 = 0\).

Делим обе части уравнения на 10:

\(x^2 - 2x - 8 = 0\).

Факторизуем уравнение:

\((x - 4)(x + 2) = 0\).

Таким образом, мы получаем два значения x: \(x = 4\) и \(x = -2\).

Итак, ответы для каждого пункта задачи:
а) x = 8 или x = -8;
б) x = 9 или x = -7;
в) x = 6 или x = -8;
г) x = 4 или x = -2.