Проведена биссектриса bd во вравнобедренном треугольнике abc с углом 120° при вершине a. Внутрь треугольника abc вписан

Баронесса

2

a) Для доказательства того, что \(fh\) равно \(2 \cdot dh\), мы воспользуемся свойствами биссектрисы и равнобедренного треугольника.

Обратим внимание, что треугольник \(abc\) равнобедренный, поэтому стороны \(ab\) и \(ac\) равны. Также известно, что угол \(bac\) равен 120 градусам. Так как \(bd\) - биссектриса угла \(bac\), она делит этот угол пополам, то есть, угол \(bad\) равен половине угла \(bac\), то есть 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(adb\) и \(fdc\). У них есть несколько равных сторон и углов:

1. Сторона \(ad\) общая для обоих треугольников.
2. Сторона \(bd\) равна сама себе.
3. Сторона \(fd\) равна сама себе (так как она лежит на отрезке \(bc\), а сторона \(bc\) равна сама себе в равнобедренном треугольнике).
4. Угол \(bad\) равен углу \(fcd\) (это угол между биссектрисой и стороной треугольника).
5. Угол \(adb\) равен углу \(fdc\) (это общий угол между обоими треугольниками).
6. Угол \(dab\) равен углу \(cdf\) (это угол между стороной треугольника и прямоугольником).

Из этих равенств следует, что треугольники \(adb\) и \(fdc\) равны по стороне-сторона-угол. Таким образом, отрезок \(fh\) равен отрезку \(2 \cdot dh\), что и требовалось доказать.

б) Теперь найдем площадь прямоугольника \(defh\), зная, что сторона \(ab\) равна 4.

Первым шагом найдем длину стороны прямоугольника \(dh\). Из доказательства предыдущей части мы уже знаем, что \(fh\) равно \(2 \cdot dh\).

Так как \(ab\) равна 4, \(dh\) можно найти, разделив \(ab\) на 4 и умножив результат на 2:

\[dh = \frac{ab}{4} \cdot 2 = \frac{4}{4} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2.\]

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника \(defh\), нужно умножить длину стороны \(fh\) на длину стороны \(dh\):

\[Площадь\ прямоугольника\ defh = fh \cdot dh = 2 \cdot 2 = 4.\]

Таким образом, площадь прямоугольника \(defh\) равна 4 при условии, что сторона \(ab\) равна 4.