Проведите полное исследование функции и нарисуйте график следующего выражения: y=12x^2-8x^3-2

Petrovich

15

Хорошо, для начала проведем исследование данной функции \(y = 12x^2 - 8x^3 - 2\). Давайте пошагово разберемся:

1. Первый шаг в исследовании функции - это нахождение области определения. Данная функция не имеет ограничений на значения \(x\), поэтому ее областью определения является вся числовая прямая.

2. Далее, определим поведение функции на бесконечности. При \(x \to +\infty\) все слагаемые \(12x^2\), \(-8x^3\) и \(-2\) стремятся к бесконечности с отрицательным знаком. Следовательно, график функции будет стремиться к \(-\infty\) при \(x \to +\infty\). Аналогично, при \(x \to -\infty\) график также будет стремиться к \(-\infty\).

3. Теперь найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:
\[12x^2 - 8x^3 - 2 = 0\]

Мы можем воспользоваться графическим методом или численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти корни уравнения. Решив это уравнение, мы найдем корни \(x_1 \approx -0.324\) и \(x_2 \approx 1.208\).

Таким образом, функция \(y = 12x^2 - 8x^3 - 2\) пересекает ось \(x\) в двух точках: \((-0.324, 0)\) и \((1.208, 0)\).

4. Затем, найдем экстремумы функции. Для этого возьмем первую производную функции \(y\) и приравняем ее к нулю:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 24x - 24x^2 = 0\)

Решив это уравнение, мы найдем две критические точки \(x_3 = 0\) и \(x_4 = 1\).

5. После этого, проанализируем знаки второй производной функции \(y\), чтобы определить тип найденных экстремумов. Возьмем вторую производную:
\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 24 - 48x\)

Подставим найденные критические точки: \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}(0) = 24 > 0\) и \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}(1) = -24 < 0\).

Таким образом, \(x_3 = 0\) является точкой локального минимума, а \(x_4 = 1\) - точкой локального максимума.

6. Теперь можно построить график функции, используя полученную информацию. На оси \(x\) отобразим значения от \(-\infty\) до \(+\infty\), а на оси \(y\) отобразим значения функции.