Проведите сравнение кинетических энергий двух шаров с одинаковыми плотностями, которые движутся по плоскости

Chudesnyy_Korol

2

Для начала, давайте определим кинетическую энергию и узнаем, как она вычисляется.

Кинетическая энергия шара связана с его массой и скоростью движения по формуле:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса шара, \(v\) - скорость шара.

Теперь, у нас есть два шара с одинаковой плотностью, движущиеся по плоскости с одинаковой скоростью. Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шаров соответственно, а \(v\) - скорость обоих шаров.

Мы знаем, что масса связана с плотностью и объемом по формуле:

\[m = \rho V\]

где \(\rho\) - плотность, \(V\) - объем.

Также, объем шара можно выразить через его радиус по формуле:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(r\) - радиус шара.

У нас есть информация, что радиус второго шара в \(n\) раз меньше радиуса первого. Поэтому, радиус второго шара можно записать как \(\frac{1}{n}\) радиуса первого шара, то есть \(r_2 = \frac{r_1}{n}\).

Теперь, мы можем выразить массу каждого шара через его плотность и радиус:

\[m_1 = \rho_1 \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3\]
\[m_2 = \rho_2 \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3\]

Для удобства вычислений, давайте предположим, что плотности шаров одинаковы и обозначим их как \(\rho_1 = \rho_2 = \rho\).

Теперь, подставляем значение \(r_2\) в \(m_2\):

\[m_2 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r_1}{n}\right)^3\]
\[m_2 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{n^3} \cdot r_1^3\]

Мы знаем, что скорость обоих шаров одинакова, поэтому \(v_1 = v_2 = v\).

Теперь, вычислим кинетическую энергию \(E_k\) для каждого шара:

\[E_{k_1} = \frac{1}{2} m_1 v^2\]
\[E_{k_2} = \frac{1}{2} m_2 v^2\]

Подставим значения \(m_1\), \(m_2\) и упростим выражения:

\[E_{k_1} = \frac{1}{2} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3 v^2\]
\[E_{k_2} = \frac{1}{2} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{n^3} \cdot r_1^3 v^2\]

Теперь, проведем сравнение кинетических энергий:

\[E_{k_2} = \frac{1}{2} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{n^3} \cdot r_1^3 v^2\]
\[E_{k_1} = \frac{1}{2} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3 v^2\]

Мы видим, что кинетическая энергия шара 2 будет меньше, чем кинетическая энергия шара 1, поскольку \(\frac{1}{n^3}\) является множителем перед \(r_1^3\), то есть шар 2 имеет меньший объем и меньшую массу по сравнению с шаром 1.

Таким образом, при одинаковой плотности и одинаковой скорости движения, шар с меньшим радиусом (\(n\) раз меньше) будет иметь меньшую кинетическую энергию по сравнению с шаром большего радиуса.