Проверьте следующие выражения: а) 2 cos²α+1 при tg α=п/4; б) sin²х – 2 cos²х, если sin х= - 0,4; в) 6sin a−2cos a /sin

Stepan_5036

34

Давайте решим каждое из этих выражений по очереди:

а) Нам дано выражение \(2\cos^2\alpha + 1\) и условие, что \(\tan\alpha = \frac{\pi}{4}\).

Сначала найдем значение \(\cos\alpha\). Используя определение тангенса, мы можем записать:

\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\pi}{4}\).

Теперь, чтобы найти \(\cos\alpha\), нам нужно найти соответствующее значение синуса. Для этого найдем гипотенузу и противоположный катет в прямоугольном треугольнике, где угол \(\alpha\) равен \(\frac{\pi}{4}\).

Используя теорему Пифагора, найти гипотенузу можно следующим образом:

\(\text{гипотенуза} = \sqrt{(\text{противоположный катет})^2 + (\text{прилежащий катет})^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Зная гипотенузу и противоположный катет, мы можем найти значение синуса:

\(\sin\alpha = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь, используя тригонометрическое соотношение \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), можем вычислить значение \(\cos\alpha\):

\(\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Таким образом, \(\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь можем подставить это значение обратно в исходное выражение:

\(2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\).

Ответ: \(2\).

б) В выражении \( \sin^2x - 2\cos^2x \) нам дано, что \(\sin x = -0.4\).

Мы знаем, что \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Мы также можем заменить \(\sin^2x\) на \(1 - \cos^2x\) в данном выражении.

\( \sin^2x - 2\cos^2x = (1 - \cos^2x) - 2\cos^2x = 1 - 3\cos^2x \).

Теперь нам нужно найти значение \(\cos x\) для данного условия \(\sin x = -0.4\).

Заметим, что угол \(x\) находится в третьем квадранте, где \(\sin x < 0\) и \(\cos x < 0\).

Мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \), чтобы вычислить \(\cos x\):

\( \cos^2x = 1 - \sin^2x = 1 - (-0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \).

Так как \(\cos x < 0\) в третьем квадранте, то \(\cos x = -\sqrt{0.84} \approx -0.917\).

Теперь, мы можем подставить это значение в исходное выражение:

\( 1 - 3\cos^2x = 1 - 3(-0.917)^2 = 1 - 3(0.840889) = 1 - 2.522667 = -1.522667 \).

Ответ: \(-1.522667\).

в) В данном случае нам дано выражение \( \frac{6\sin a - 2\cos a}{\sin a - \cos a} \).

Мы не знаем, какого значения требуется для \( a \).

Поэтому мы не можем упростить это выражение до конкретного числа. Мы можем только выразить его как функцию \( a \).

Ответ: \( \frac{6\sin a - 2\cos a}{\sin a - \cos a} \).