Question 1: Find the correct digits of the approximate number a=0.8164 given an absolute error of Δa=0.0021. Question

Акула

18

Ответы на задачи:

Вопрос 1:
Для нахождения правильных цифр приближенного числа \( a = 0.8164 \), учитывая абсолютную погрешность \( \Delta a = 0.0021 \), нужно проанализировать каждую цифру числа \( a \) по отдельности.

Первая цифра числа \( a \) равна 0. Здесь нет необходимости изменять цифру, так как абсолютная погрешность не затрагивает эту цифру.

Вторая цифра числа \( a \) равна 8. Здесь также нет необходимости изменять цифру, так как абсолютная погрешность не затрагивает эту цифру.

Третья цифра числа \( a \) равна 1. Абсолютная погрешность влияет на эту цифру, поэтому нам нужно рассмотреть варианты для цифры 1. Для этого мы сравним абсолютную погрешность с диапазоном возможных значений цифры 1. Предположим, что цифра 1 может иметь значения от 0 до 9. При этом абсолютная погрешность должна быть меньше половины интервала, то есть меньше 0,5. Если абсолютная погрешность меньше 0,5, то мы можем считать цифру 1 правильной. В данном случае, поскольку абсолютная погрешность равна 0.0021, что меньше 0.5, мы сохраняем цифру 1 без изменений.

Четвертая цифра числа \( a \) равна 6. Эта цифра также подвержена влиянию абсолютной погрешности. Проводя аналогичные рассуждения, мы устанавливаем, что цифра 6 сохраняется без изменений.

Таким образом, правильные цифры приближенного числа \( a = 0.8164 \) с абсолютной погрешностью \( \Delta a = 0.0021 \) равны 0.816.

Вопрос 2:
Чтобы определить, какое равенство является более точным - \( \frac{12}{17} = 0.705 \) или \( \sqrt{51} = 7.14 \), мы должны сравнить абсолютные ошибки каждого равенства.

Абсолютная ошибка в равенстве \( \frac{12}{17} = 0.705 \) равна \( \left| \frac{12}{17} - 0.705 \right| \).

Абсолютная ошибка в равенстве \( \sqrt{51} = 7.14 \) равна \( \left| \sqrt{51} - 7.14 \right| \).

Чтобы определить, какое равенство является более точным, мы должны выбрать равенство, у которого абсолютная ошибка меньше. Вычислим абсолютные ошибки для обоих равенств:

Абсолютная ошибка в равенстве \( \frac{12}{17} = 0.705 \) равна \( \left| \frac{12}{17} - 0.705 \right| = 0.0006706 \).

Абсолютная ошибка в равенстве \( \sqrt{51} = 7.14 \) равна \( \left| \sqrt{51} - 7.14 \right| \approx 0.000618 \).

Таким образом, равенство \( \sqrt{51} = 7.14 \) является более точным, так как его абсолютная ошибка меньше.

Вопрос 3:
Для округления недостоверных цифр числа \( x = 45.156 \pm 0.016 \) и нахождения абсолютной погрешности результата, мы должны рассмотреть значение погрешности и позиции округления.

В данном случае, величина погрешности составляет \( \pm 0.016 \). Чтобы округлить недостоверные цифры числа \( x \), мы смотрим на следующую по значимости цифру после цифр недостоверности. Если эта цифра меньше 5, то недостоверные цифры округляются по правилам округления вниз (т.е. они сохраняются без изменений). Если эта цифра больше или равна 5, то недостоверные цифры округляются по правилам округления вверх.

В числе \( x = 45.156 \), недостоверные цифры - 6 и 5. Для округления этих цифр, мы смотрим на следующую по значимости цифру, которая равна 6. Так как 6 больше 5, мы должны округлить недостоверные цифры вверх.

Таким образом, округленные неопределенные цифры числа \( x = 45.156 \pm 0.016 \) будут 46.

Для определения абсолютной погрешности результата, мы вычитаем начальное значение числа \( x \) минус округленное значение:

Абсолютная погрешность = \( |45.156 - 46| = 0.844 \).

Вопрос 4:
Для округления недостоверных цифр числа \( a = 37.8132 \pm 0.0045 \) с сохранением правильного числа значащих цифр и определения абсолютной погрешности результата, мы должны рассмотреть значение погрешности и позиции округления.

В данном случае, величина погрешности составляет \( \pm 0.0045 \). Чтобы округлить недостоверные цифры числа \( a \), мы смотрим на следующую по значимости цифру после цифр недостоверности. Если эта цифра меньше 5, то недостоверные цифры округляются по правилам округления вниз (т.е. они сохраняются без изменений). Если эта цифра больше или равна 5, то недостоверные цифры округляются по правилам округления вверх.

В числе \( a = 37.8132 \), недостоверная цифра - 2. Для округления этой цифры, мы смотрим на следующую по значимости цифру, которая равна 4. Так как 4 меньше 5, мы должны округлить недостоверную цифру вниз.

Таким образом, округленные неопределенные цифры числа \( a = 37.8132 \pm 0.0045 \) будут 37.813.

Для определения абсолютной погрешности результата, мы вычитаем начальное значение числа \( a \) минус округленное значение:

Абсолютная погрешность = \( |37.8132 - 37.813| = 0.0002 \).

Вопрос 5:
Для округления недостоверных цифр числа \( a = 15.8312 \) с сохранением правильного числа значащих цифр и определения абсолютной погрешности результата, мы должны рассмотреть правила округления и позиции округления.

В данном случае, нет погрешности указанной для числа \( a \), поэтому мы не округляем недостоверные цифры.

Число \ a = 15.8312 \) имеет четыре значащих цифры (1, 5, 8, 3). Для сохранения правильного числа значащих цифр, округляем неопределенные цифры к ближайшему значению.

Таким образом, округленные неопределенные цифры числа \( a = 15.8312 \) будут 16.

Поскольку нет погрешности указанной для числа \( a \), абсолютная погрешность этого округленного значения будет равна 0.

Таким образом, абсолютная ошибка результата будет равна 0.