Question: We have a set of four cards, each of which has one of the numbers written on it: 1, 2, 3, 4. A card

Лисичка123

18

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать теорию вероятностей. Давайте последовательно рассмотрим каждый пункт задачи.

1. Для начала построим ряд распределения. Запишем все возможные значения суммы, которую можно получить при выборе двух карт из множества {1, 2, 3, 4}, а затем определим количество способов получить каждую сумму:

Сумма: 2 3 4 5 6 7 8
Количество: 1 2 3 2 1 0 0

Обратите внимание, что мы рассматриваем только случаи, когда сумма соответствует выбранным картам. Так как в нашем случае возвращение карты в множество после выбора, то каждая сумма может быть получена разными способами.

2. Теперь давайте построим функцию распределения. Для каждой суммы подсчитаем вероятность получить значение суммы, не превышающее данное:

Сумма: 2 3 4 5 6 7 8
Вероятность: 1/16 3/16 6/16 9/16 15/16 15/16 15/16

Здесь мы используем общую формулу для вычисления вероятности: количество способов получить сумму, не превышающую данное значение, деленное на общее количество возможных исходов.

3. Теперь найдем математическое ожидание (expected value) случайной величины, равной сумме на выбранных картах. Для этого умножим каждое значение суммы на его вероятность, а затем сложим полученные произведения:

\[M = 2 \cdot \frac{1}{16} + 3 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{6}{16} + 5 \cdot \frac{9}{16} + 6 \cdot \frac{15}{16} + 7 \cdot \frac{15}{16} + 8 \cdot \frac{15}{16}\]

4. Посчитаем среднеквадратическое отклонение (standard deviation) случайной величины. Для этого мы вычислим квадрат разности каждого значения суммы и математического ожидания, умножим его на вероятность и сложим полученные произведения. Затем извлечем квадратный корень из суммы:

\[\sigma = \sqrt{(2 - M)^2 \cdot \frac{1}{16} + (3 - M)^2 \cdot \frac{3}{16} + (4 - M)^2 \cdot \frac{6}{16} + (5 - M)^2 \cdot \frac{9}{16} + (6 - M)^2 \cdot \frac{15}{16} + (7 - M)^2 \cdot \frac{15}{16} + (8 - M)^2 \cdot \frac{15}{16}}\]

5. Найдем моду (mode) случайной величины, то есть наиболее часто встречающееся значение из всех возможных сумм.

В нашем случае, мода равна 7, так как она имеет наибольшую частоту в ряду распределения.

6. Найдем медиану (median) случайной величины, то есть значение, разделяющее упорядоченный ряд на две равные части.

Медиана равна 5, так как она находится в середине упорядоченного ряда распределения.

7. Найдем вероятность того, что сумма:
A) не превышает число 4. В данном случае это вероятность получить сумму 2 или 3. Просто сложим вероятности получить эти суммы:
\[P(A) = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

B) не меньше чем число 6. В данном случае это вероятность получить сумму 6, 7 или 8. Просто сложим вероятности получить эти суммы:
\[P(B) = \frac{15}{16} + \frac{15}{16} + \frac{15}{16} = \frac{45}{16}\]

Конечно, все эти вычисления можно выполнить и с помощью программы или калькулятора, чтобы получить точные значения.