Как можно продемонстрировать, что прямая, которая делит гипотенузу и катет прямоугольного треугольника пополам

Babochka

24

Для того чтобы продемонстрировать, что прямая, которая делит гипотенузу и один из катетов прямоугольного треугольника пополам, параллельна другому катету, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Давайте рассмотрим следующий рисунок, чтобы проиллюстрировать это свойство.

\[
\begin{array}{c}
\Delta ABC ~~~~ DE \, \| \, AB \, \| \, BC \\
\\
\text{A} ~~~~~~~~~~~~ \text{B} \\
\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ C \\
\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ D ~~~~~~~~~~~~~~~~~ E \\
\end{array}
\]

Здесь мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC - катет, DE - прямая, делящая гипотенузу на две равные части. Важно отметить, что DE должна быть проведена из вершины прямого угла C.

Для доказательства того, что DE || BC, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника: треугольники ABC и ADE.

\[
\Delta ABC \sim \Delta ADE
\]

Доказательство подобия заключается в следующих соображениях:

1. Угол ABC является прямым углом, поскольку ABC - прямоугольный треугольник.

2. Угол ADE также является прямым углом, поскольку DE перпендикулярна к AB и AC в точке D, и аналогично аргументу выше, AB и BC являются прямыми углами.

3. Угол BAC является общим углом у данных треугольников, так как ADE проведена из угла C, и AB является общей стороной.

Таким образом, у нас есть:

\[
\angle ABC = \angle ADE \quad \text{(прямой угол)}
\]
\[
\angle BAC = \angle BAC \quad \text{(общий угол)}
\]

Из данных углов мы можем заключить, что треугольники ABC и ADE подобны. Это можно записать следующим образом:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}
\]

Так как DE делит сторону AB пополам, то AD = DE и AE = EB (по свойству деления пополам). Подставим это обратно в равенство:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{EB}
\]

Теперь давайте рассмотрим отношение AC и EB. Поскольку DE делит AB пополам, EB является оставшейся частью гипотенузы после деления. Таким образом, EB = AC - EB = AC - EB. Подставляем это в равенство:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{AC - EB}
\]

Нам осталось заметить, что AC - EB = BC. Подставляем это в конечное равенство:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{BC}
\]

Мы получили равенство, которое показывает, что две прямые DE и BC параллельны друг другу. Таким образом, мы доказали, что прямая, которая делит гипотенузу и один из катетов прямоугольного треугольника пополам, параллельна другому катету.