Решить неравенство log₁/₃((4-x)(x²+29)) ≤ log₁/₃(x²-10x+24) + log₁/₃(7-x) в рамках 15-го задания по профилю

Oleg

59

Хорошо! Давайте решим данное неравенство пошагово.

1. Сначала перенесем все члены в левую часть неравенства:
\[\log_{\frac{1}{3}}((4-x)(x^2+29)) - \log_{\frac{1}{3}}(x^2-10x+24) - \log_{\frac{1}{3}}(7-x) \leq 0.\]

2. Применим свойство логарифма:
\[\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{(4-x)(x^2+29)}{(x^2-10x+24)(7-x)}\right) \leq 0.\]

3. Для дальнейшего анализа неравенства найдем область определения:
Для логарифма со основанием \(\frac{1}{3}\) аргумент должен быть положительным, исключая 1.
То есть:
\[(4-x)(x^2+29) > 0,\]
\[(x^2-10x+24)(7-x) > 0.\]

4. Найдем точки разрыва в области определения:
Знаменатель логарифма не может быть равен 0, поэтому рассмотрим следующие случаи:
- \((4-x)(x^2+29) = 0,\)
- \((x^2-10x+24)(7-x) = 0.\)

Решением первого уравнения является \(x = 4.\)
Разложим второе уравнение на множители: \(x^3 - 17x^2 + 94x - 168 = 0.\)
Визуально определяем, что данное уравнение имеет корни \(x = 6\) и \(x = 4.\)

Итак, в \((4-x)(x^2+29) > 0\) разрывы находятся в точках \(x = 4\) и \(x = 6.\)
В \((x^2-10x+24)(7-x) > 0\) разрыв находится в точке \(x = 4.\)

5. Построим таблицу знаков для каждого множителя:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Множитель} & (4-x) & (x^2+29) & (x^2-10x+24) & (7-x) \\
\hline
\text{Знак} & + & + & ? & + \\
\hline
\end{array}
\]

Вопросительный знак в таблице обозначает то, что мы еще не знаем знак данного множителя.

6. Проанализируем знаки множителей в каждой области на числовой прямой:

- Область I: \(-\infty < x < 4\).
Знаки множителей в этой области:
\((4-x)\) - отрицательный, \((x^2+29)\) - положительный, \((x^2-10x+24)\) - положительный, \((7-x)\) - положительный.

- Область II: \(4 < x < 6\).
Знаки множителей в этой области:
\((4-x)\) - положительный, \((x^2+29)\) - положительный, \((x^2-10x+24)\) - отрицательный, \((7-x)\) - положительный.

- Область III: \(x > 6\).
Знаки множителей в этой области:
\((4-x)\) - отрицательный, \((x^2+29)\) - положительный, \((x^2-10x+24)\) - положительный, \((7-x)\) - отрицательный.

7. Определим знак исходного выражения \(\frac{(4-x)(x^2+29)}{(x^2-10x+24)(7-x)}\) в каждой области на числовой прямой:

- Область I: \(-\infty < x < 4\).
Знак исходного выражения: отрицательный (\(-\)).

- Область II: \(4 < x < 6\).
Знак исходного выражения: положительный (\(+\)).

- Область III: \(x > 6\).
Знак исходного выражения: отрицательный (\(-\)).

8. Построим окончательную систему неравенств, учитывая знак исходного выражения:

- Область I: \(-\infty < x < 4\), \(\frac{(4-x)(x^2+29)}{(x^2-10x+24)(7-x)} < 0\).

- Область II: \(4 < x < 6\), \(\frac{(4-x)(x^2+29)}{(x^2-10x+24)(7-x)} > 0\).

- Область III: \(x > 6\), \(\frac{(4-x)(x^2+29)}{(x^2-10x+24)(7-x)} < 0\).

9. Ответом на задачу будет являться объединение всех областей, в которых выполнено условие из системы неравенств:
\(-\infty < x < 4\) или \(4 < x < 6\) или \(x > 6\).

Таким образом, решением данного неравенства является интервал значений \(x\), который можно записать следующим образом:
\(-\infty < x < 4\) или \(4 < x < 6\) или \(x > 6\).