Как выглядит плоскостное сечение куба, проходящее через две противоположные вершины нижнего основания и середину одного

Черныш

12

Для решения задачи нам понадобится визуализировать плоскостное сечение куба, которое проходит через две противоположные вершины нижнего основания и середину одного из ребер верхнего основания.

Первым шагом построим куб и обозначим его вершины и ребра:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & & & & A \\
& & & & & & & \nearrow \\
& & & & & & & & \text{--------} \, C \\
& & & & & & & \swarrow \\
& & & & & & & & B \\
& & & & & \nwarrow \\
& & & & & \text{--------} \, D \\
& & & \uparrow \\
& & & E
\end{array}
\]

Вершины нижнего основания обозначены как A, B, C и D, а вершина верхнего основания - как E. Ребра A-E, B-E, C-E и D-E соединяют вершины нижнего основания с вершиной верхнего основания.

Далее, нарисуем плоскостное сечение, которое проходит через две вершины нижнего основания (A и C) и середину одного из ребер верхнего основания (ребро A-E):

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & & & & \\
& & & & & & & \uparrow \\
& & & & & & & \text{--------} \, C \\
& & & & & \text{------} \, X & \text{------} \, Y \\
& & & & & & & \text{--------} \, A \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \nwarrow \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & E
\end{array}
\]

Обозначим точку пересечения сечения с ребром A-E как X, а точку пересечения сечения с ребром C-E как Y.

Теперь, чтобы найти периметр данного плоскостного сечения, нужно соединить точки X, Y, A и C отрезками. Это образует четырехугольник.

Так как ребро A-E является половиной диагонали верхнего основания куба, то отрезок XY - это половина диагонали верхнего основания. Обозначим длину ребра куба как \(a\). Тогда длина ребра XY равна \(\frac{a}{2}\).

С помощью теоремы Пифагора можно найти длину стороны четырехугольника. Так как AXY - прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины этой диагонали.

\[
(AX)^2 = (AY)^2 + (XY)^2
\]

Так как треугольник AXY равнобедренный, то \(AX = AY\), и уравнение примет вид:

\[
(AX)^2 = 2 \cdot (XY)^2
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
(AX)^2 = 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2}
\]

Теперь найдем значение \(AX\):

\[
AX = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

Так как AC является стороной четырехугольника, то периметр четырехугольника будет равен:

\[
P = 2 \cdot (AX + AC) = 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} + a\right)
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
P = a\sqrt{2} + 2a
\]

Таким образом, периметр плоскостного сечения куба, проходящего через две противоположные вершины нижнего основания и середину одного из ребер верхнего основания, равен \(a\sqrt{2} + 2a\).