Решите неравенства в упражнениях 5.32-5.35, 5.39-5.41. 5.32. 1) Какие значения x удовлетворяют неравенству х^2 <

Tainstvennyy_Orakul_9522

69

Давайте решим каждое из заданных неравенств по очереди:

5.32. 1) Неравенство \(x^2 < 9\) означает, что квадрат \(x\) должен быть меньше 9. Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству, нужно решить неравенство без модуля, т.к. в случае квадрата неотрицательного числа знак модуля не влияет на решение. Получаем:
\[
\begin{align*}
x^2 &< 9 \\
-3 < x < 3
\end{align*}
\]
То есть значения \(x\) должны быть больше -3 и меньше 3.

3) Раскроем квадрат:
\[
(3x - 5)^2 < 1 \Rightarrow 9x^2 - 30x + 25 < 1
\]
Теперь приведем к общему виду:
\[
9x^2 - 30x + 24 < 0
\]
Решим это квадратное неравенство:

Сначала найдем корни уравнения \(9x^2 - 30x + 24 = 0\) с помощью квадратного трехчлена:
\[
x = \frac{{-(-30) \pm \sqrt{{(-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 24}}}}{{2 \cdot 9}} = \frac{{30 \pm \sqrt{{900 - 864}}}}{{18}}
\]
\[
x = \frac{{30 \pm \sqrt{{36}}}}{{18}} = \frac{{30 \pm 6}}{{18}}
\]
\[
x_1 = \frac{{36}}{{18}} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{{24}}{{18}} = \frac{{4}}{{3}}
\]

Теперь построим таблицу знаков. Воспользуемся полученными значениями корней:
\[
\begin{array}{cccccccccccc}
& -\infty & & \frac{4}{3} & & 2 & & +\infty\\
& & + & & - & 0 & + &
\end{array}
\]

Мы видим, что неравенство \(9x^2 - 30x + 24 < 0\) выполняется на интервалах \(\left(-\infty,\frac{4}{3}\right)\) и \(\left(2,+\infty\right)\).

5) Раскроем квадрат и приведем к общему виду:
\[
(x - 7)^2 + 1 > 0
\]
\[
x^2 - 14x + 50 > 0
\]
Возможны два случая решения данного неравенства:
- либо квадратное уравнение не имеет решений, и тогда неравенство \(x^2 - 14x + 50 > 0\) выполнено для всех значений \(x\);
- либо квадратное уравнение имеет решение, и тогда мы должны найти значения \(x\), не удовлетворяющие данному решению.

Для первого случая:
Вычислим дискриминант, чтобы узнать, имеет ли уравнение корни:
\[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 196 - 200 = -4 < 0
\]
Дискриминант меньше нуля, значит, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Преобразуем уравнение, полученное из неравенства:
\[
x^2 - 14x + 50 > 0
\]
Следовательно, для любого значения \(x\) неравенство будет истинным.

Для второго случая:
Квадратное уравнение имеет решения, значит, нужно найти значения \(x\), которые не удовлетворяют этим решениям. Решим уравнение \(x^2 - 14x + 50 = 0\) и найдем корни:
\[
x = \frac{{-(-14) \pm \sqrt{{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50}}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{14 \pm \sqrt{{196 - 200}}}}{{2}} = \frac{{14 \pm \sqrt{{-4}}}}{{2}} = \frac{{14 \pm 2i}}{{2}} = 7 \pm i
\]
Где \(i\) - это мнимая единица. Получили два комплексных корня.

Таким образом, второй случай не имеет реальных корней, следовательно, неравенство выполнено для всех значений \(x\).

2) Перепишем неравенство как \(x^2 \leq 4\). Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству, нужно решить неравенство без модуля, а затем учесть, что корни соответствуют двум условиям: \(x^2 = 4\) и \(x^2 < 4\).

Решим неравенство без модуля:
\[
x^2 \leq 4
\]
\[
x^2 - 4 \leq 0
\]
Раскроем квадрат:
\[
(x - 2)(x + 2) \leq 0
\]
Отсюда мы видим, что неравенство выполняется, когда один из множителей отрицательный, а другой - положительный. Это происходит на интервалах \((-2,2)\).

4) Раскроем квадрат и приведем к общему виду:
\[
(2 - 5x)^2 \leq 16
\]
\[
4 - 20x + 25x^2 \leq 16
\]
Теперь приведем квадратное неравенство к общему виду:
\[
25x^2 - 20x - 12 \leq 0
\]
Теперь найдем корни уравнения \(25x^2 - 20x - 12 = 0\) с помощью квадратного трехчлена:
\[
x = \frac{{-(-20) \pm \sqrt{{(-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12)}}}}{{2 \cdot 25}} = \frac{{20 \pm \sqrt{{400 + 1200}}}}{{50}}
\]
\[
x = \frac{{20 \pm \sqrt{{1600}}}}{{50}} = \frac{{20 \pm 40}}{{50}}
\]
\[
x_1 = \frac{{60}}{{50}} = \frac{{6}}{{5}}
\]
\[
x_2 = \frac{{-20}}{{50}} = -\frac{{2}}{{5}}
\]

Построим таблицу знаков, используя полученные значения корней:
\[
\begin{array}{cccccccccccc}
& -\infty & & -\frac{2}{5} & & \frac{6}{5} & & +\infty \\
& & - & & + & 0 & - &
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что неравенство \(25x^2 - 20x - 12 \leq 0\) выполняется на интервалах \(\left[-\frac{2}{5}, \frac{6}{5}\right]\).

6) Раскроем квадрат и приведем к общему виду:
\[
49 - (3x + 2)^2 \leq 0
\]
Раскроем скобки:
\[
49 - (9x^2 + 12x + 4) \leq 0
\]
Упростим:
\[
-9x^2 - 12x + 45 \leq 0
\]

Теперь найдем корни уравнения \(-9x^2 - 12x + 45 = 0\) с помощью квадратного трехчлена:
\[
x = \frac{{-(-12) \pm \sqrt{{(-12)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot 45}}}}{{2 \cdot (-9)}} = \frac{{12 \pm \sqrt{{144 + 1620}}}}{{-18}}
\]
\[
x = \frac{{12 \pm \sqrt{{1764}}}}{{-18}} = \frac{{12 \pm 42}}{{-18}}
\]
\[
x_1 = \frac{{54}}{{-18}} = -3
\]
\[
x_2 = \frac{{-30}}{{-18}} = \frac{{5}}{{3}}
\]

Построим таблицу знаков, используя полученные значения корней:
\[
\begin{array}{cccccccccccc}
& -\infty & & -3 & & \frac{5}{3} & & +\infty \\
& & + & & - & 0 & + &
\end{array}
\]

Из таблицы следует, что неравенство \(-9x^2 - 12x + 45 \leq 0\) выполняется на интервале \(\left[-3, \frac{5}{3}\right]\).

Таким образом, мы решили заданные неравенства и определили все значения \(x\), которые удовлетворяют этим неравенствам. В случае дополнительных вопросов, пожалуйста, задайте их.