What is the rephrased question? What is the modified form of the following math expression: (45 * 2^x - 90 + 45 * 2^-x

Skvoz_Podzemelya

46

Задача состоит в преобразовании данного математического выражения, а именно выражения:
\(\frac{{45 \cdot 2^x - 90 + 45 \cdot 2^{-x}}}{{2x + 2 + 2^{-2^x} + 21}} = \frac{{2^x + 3 - 8}}{{2^x}}\)
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся правилами алгебры и пошагово преобразуем выражение.

1. Начнем с вычисления некоторых значений, чтобы упростить запись:
Обозначим \(2^x\) за \(a\). Тогда выражение примет вид:
\(\frac{{45a - 90 + 45a^{-1}}}{{2x + 2 + 2^{-2^x} + 21}} = \frac{{a + 3 - 8}}{a}\)

2. Преобразуем числитель и знаменатель выражения:
Раскроем скобки и упростим числитель:
\(45a - 90 + 45a^{-1} = a + 3 - 8\)
\(45a - 90 + \frac{{45}}{a} = a - 5\)

3. Упростим выражение, добавив 90 к обеим сторонам этих уравнений:
\(45a + \frac{{45}}{a} = a + 85\)

4. Умножим уравнение на \(a\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
\(45a^2 + 45 = a^2 + 85a\)

5. Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\(45a^2 + 45 - a^2 - 85a = 0\)
\(44a^2 - 85a + 45 = 0\)

6. Решим полученное квадратное уравнение, используя квадратное уравнение формулу:
\[a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае: \(a = 44\), \(b = -85\), \(c = 45\).

Применяя формулу, получим значения \(a_1\) и \(a_2\):
\[a_1 = \frac{{-(-85) + \sqrt{{(-85)^2 - 4 \cdot 44 \cdot 45}}}}{{2 \cdot 44}}\]
\[a_2 = \frac{{-(-85) - \sqrt{{(-85)^2 - 4 \cdot 44 \cdot 45}}}}{{2 \cdot 44}}\]

7. Вычислим значения \(a_1\) и \(a_2\) с помощью калькулятора:
\[a_1 \approx 43.3121\]
\[a_2 \approx 0.0530\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(2^x\): \(a_1 \approx 43.3121\) и \(a_2 \approx 0.0530\).

8. Чтобы найти значения переменной \(x\), подставим значения \(a_1\) и \(a_2\) в исходное уравнение и решим его:
Для \(a_1 \approx 43.3121\):
\(2^x = 43.3121\)
Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:
\(\log_2(2^x) = \log_2(43.3121)\)
\(x = \log_2(43.3121)\)

Для \(a_2 \approx 0.0530\):
\(2^x = 0.0530\)
Аналогично, возьмем логарифм от обеих частей уравнения:
\(\log_2(2^x) = \log_2(0.0530)\)
\(x = \log_2(0.0530)\)

9. Используя калькулятор, найдем значения \(x\) для каждого случая:
\(x \approx 5.4465\) для \(a_1 \approx 43.3121\)
\(x \approx -4.0682\) для \(a_2 \approx 0.0530\)

Таким образом, измененная форма данного математического выражения будет иметь два возможных значения для \(x\): \(x \approx 5.4465\) и \(x \approx -4.0682\).