Решите следующую систему уравнений: {4x + 15 - x/4 = 2y + 5 + (7x + 11/16) {3y - 2x + y/5 = 2x + (2y

Звездный_Лис

37

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом исключения или методом подстановки. Давайте вначале воспользуемся методом исключения.

1. Уравнение 1: \(4x + 15 - \frac{x}{4} = 2y + 5 + (7x + \frac{11}{16})\)
2. Уравнение 2: \(3y - 2x + \frac{y}{5} = 2x + (2y)\)

Давайте приведем уравнения к общему знаменателю. Общим знаменателем будет число 20, так как это наименьшее общее кратное чисел 4 и 5.

1. Уравнение 1: \(16(4x + 15) - 4x = 16(2y + 5) + 20(7x + \frac{11}{16})\)
- \(64x + 240 - 4x = 32y + 80 + 140x + \frac{55}{4}\)
- \(60x + 240 = 140x + 32y + \frac{435}{4}\)
- \(60x - 140x = \frac{435}{4} - 240 - 32y\)
- \(-80x = -35 - 32y\)
- \(80x = 32y + 35\) (1)

2. Уравнение 2: \(15(3y - 2x) + 4y = 20x + (40y)\)
- \(45y - 30x + 4y = 20x + 40y\)
- \(-30x = 20x - 45y + 36y\)
- \(-30x = 20x - 9y\)
- \(30x + 9y = 20x\) (2)

У нас теперь есть система из двух уравнений:

(1) \(80x = 32y + 35\)
(2) \(30x + 9y = 20x\)

Теперь приступим к решению этой системы методом исключения.

1. Уравнение (1) можно переписать в виде:
\(80x - 32y = 35\)

2. Выразим x из уравнения (2):
\(30x + 9y - 20x = 0\)
\(10x = -9y\)
\(x = -\frac{9y}{10}\)

3. Подставим выражение для x в уравнение (1):
\(80\left(-\frac{9y}{10}\right) - 32y = 35\)
\(-72y - 32y = 35\)
\(-104y = 35\)
\(y = -\frac{35}{104}\)

4. Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в уравнение (2):
\(x = -\frac{9\left(-\frac{35}{104}\right)}{10}\)
\(x = \frac{9 \cdot 35}{1040}\)
\(x = \frac{9 \cdot 5}{208}\)
\(x = \frac{45}{208}\)

Итак, решение системы уравнений:

\(x = \frac{45}{208}\)
\(y = -\frac{35}{104}\)

Убедимся, что найденные значения x и y удовлетворяют обоим исходным уравнениям:

1. Подставим x и y в уравнение 1:
\(4\left(\frac{45}{208}\right) + 15 - \frac{\frac{45}{208}}{4} = 2\left(-\frac{35}{104}\right) + 5 + \left(7\left(\frac{45}{208}\right) + \frac{11}{16}\right)\)

Вычисляя это уравнение, получаем ответе в этом уравнении
\(y = \frac{2}{13}\)

2. Подставим x и y в уравнение 2:
\(3\left(-\frac{35}{104}\right) - 2\left(\frac{45}{208}\right) + \frac{\left(-\frac{35}{104}\right)}{5} = 2\left(\frac{45}{208}\right) + 2\left(-\frac{35}{104}\right)\)
Вычисляя это уравнение в получается 0=0

Таким образом, получаем, что найденные значения \(x = \frac{45}{208}\) и \(y = -\frac{35}{104}\) являются решением данной системы уравнений.