Для яких значень a нерівність 3+ax≥a-2x виконується для всіх дійсних значень

Paporotnik

28

Чтобы неравенство \(3+ax \geq a-2x\) выполнялось для всех действительных значений, нужно найти диапазон значений переменной \(a\), при которых это условие будет выполняться.

Для начала, давайте решим неравенство. Мы можем начать с преобразования неравенства, чтобы разделить \(x\) и \(a\) по разные стороны:

\[3 + ax \geq a - 2x\]

Переместим все члены, содержащие \(x\) на одну сторону, а все члены, содержащие \(a\), на другую сторону:

\[3 + 2x \geq a - ax\]

Теперь давайте сгруппируем \(a\) и \(x\) в каждой части неравенства:

\[2x + ax \geq a - 3\]

Факторизуем \(x\) и \(a\) слева:

\[x(2 + a) \geq a - 3\]

Теперь мы можем разделить обе стороны на \(2 + a\) (положительное число), чтобы избавиться от \(x\) в левой части:

\[x \geq \frac{a - 3}{2 + a}\]

Теперь обратим внимание на правую сторону. У нас есть простое выражение \(a - 3\) и сложное выражение \(2 + a\). Давайте рассмотрим два случая:

1. Если \(2 + a > 0\):

В этом случае мы можем разделить обе стороны на \(2 + a\), сохраняя направление неравенства:

\[x \geq \frac{a - 3}{2 + a}\]

2. Если \(2 + a < 0\):

У нас есть знак минус перед скобками \(2 + a\). Когда мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства:

\[x \leq \frac{a - 3}{2 + a}\]

Итак, мы получили два неравенства:

1. Если \(2 + a > 0\): \(x \geq \frac{a - 3}{2 + a}\)

2. Если \(2 + a < 0\): \(x \leq \frac{a - 3}{2 + a}\)

Теперь нам нужно найти значения \(a\), при которых оба неравенства будут выполняться для всех действительных значений \(x\).

В случае первого неравенства (\(x \geq \frac{a - 3}{2 + a}\)), мы видим, что \(2 + a\) не может быть равно нулю, поскольку это приведет к делению на ноль. Таким образом, \(2 + a > 0\) для всех \(a > -2\).

В случае второго неравенства (\(x \leq \frac{a - 3}{2 + a}\)), знак неравенства также может быть выполнен только при условии, что \(2 + a < 0\). Это будет выполняться для всех \(a < -2\).

Таким образом, неравенство \(3+ax \geq a-2x\) выполняется для всех действительных значений \(x\) при двух условиях:

1. Если \(a > -2\).

2. Если \(a < -2\).

Это значит, что неравенство выполняется для всех действительных значений \(a\), кроме значения -2. Любое значение \(a\), отличное от -2, удовлетворит данное неравенство.