Для яких значень a нерівність 3+ax≥a-2x виконується для всіх дійсних значень

Paporotnik

28

Чтобы неравенство $3+ax\ge a-2x$ выполнялось для всех действительных значений, нужно найти диапазон значений переменной $a$, при которых это условие будет выполняться.

Для начала, давайте решим неравенство. Мы можем начать с преобразования неравенства, чтобы разделить $x$ и $a$ по разные стороны:

$$3+ax\ge a-2x$$

Переместим все члены, содержащие $x$ на одну сторону, а все члены, содержащие $a$, на другую сторону:

$$3+2x\ge a-ax$$

Теперь давайте сгруппируем $a$ и $x$ в каждой части неравенства:

$$2x+ax\ge a-3$$

Факторизуем $x$ и $a$ слева:

$$x(2+a)\ge a-3$$

Теперь мы можем разделить обе стороны на $2+a$ (положительное число), чтобы избавиться от $x$ в левой части:

$$x\ge \frac{a-3}{2+a}$$

Теперь обратим внимание на правую сторону. У нас есть простое выражение $a-3$ и сложное выражение $2+a$. Давайте рассмотрим два случая:

1. Если $2+a>0$:

В этом случае мы можем разделить обе стороны на $2+a$, сохраняя направление неравенства:

$$x\ge \frac{a-3}{2+a}$$

2. Если $2+a<0$:

У нас есть знак минус перед скобками $2+a$. Когда мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства:

$$x\le \frac{a-3}{2+a}$$

Итак, мы получили два неравенства:

1. Если $2+a>0$: $x\ge \frac{a-3}{2+a}$

2. Если $2+a<0$: $x\le \frac{a-3}{2+a}$

Теперь нам нужно найти значения $a$, при которых оба неравенства будут выполняться для всех действительных значений $x$.

В случае первого неравенства ($x\ge \frac{a-3}{2+a}$), мы видим, что $2+a$ не может быть равно нулю, поскольку это приведет к делению на ноль. Таким образом, $2+a>0$ для всех $a>-2$.

В случае второго неравенства ($x\le \frac{a-3}{2+a}$), знак неравенства также может быть выполнен только при условии, что $2+a<0$. Это будет выполняться для всех $a<-2$.

Таким образом, неравенство $3+ax\ge a-2x$ выполняется для всех действительных значений $x$ при двух условиях:

1. Если $a>-2$.

2. Если $a<-2$.

Это значит, что неравенство выполняется для всех действительных значений $a$, кроме значения -2. Любое значение $a$, отличное от -2, удовлетворит данное неравенство.