Для яких значень a нерівність 3+ax≥a-2x виконується для всіх дійсних значень

  • 69
Для яких значень a нерівність 3+ax≥a-2x виконується для всіх дійсних значень x?
Paporotnik
28
Чтобы неравенство 3+axa2x выполнялось для всех действительных значений, нужно найти диапазон значений переменной a, при которых это условие будет выполняться.

Для начала, давайте решим неравенство. Мы можем начать с преобразования неравенства, чтобы разделить x и a по разные стороны:

3+axa2x

Переместим все члены, содержащие x на одну сторону, а все члены, содержащие a, на другую сторону:

3+2xaax

Теперь давайте сгруппируем a и x в каждой части неравенства:

2x+axa3

Факторизуем x и a слева:

x(2+a)a3

Теперь мы можем разделить обе стороны на 2+a (положительное число), чтобы избавиться от x в левой части:

xa32+a

Теперь обратим внимание на правую сторону. У нас есть простое выражение a3 и сложное выражение 2+a. Давайте рассмотрим два случая:

1. Если 2+a>0:

В этом случае мы можем разделить обе стороны на 2+a, сохраняя направление неравенства:

xa32+a

2. Если 2+a<0:

У нас есть знак минус перед скобками 2+a. Когда мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства:

xa32+a

Итак, мы получили два неравенства:

1. Если 2+a>0: xa32+a

2. Если 2+a<0: xa32+a

Теперь нам нужно найти значения a, при которых оба неравенства будут выполняться для всех действительных значений x.

В случае первого неравенства (xa32+a), мы видим, что 2+a не может быть равно нулю, поскольку это приведет к делению на ноль. Таким образом, 2+a>0 для всех a>2.

В случае второго неравенства (xa32+a), знак неравенства также может быть выполнен только при условии, что 2+a<0. Это будет выполняться для всех a<2.

Таким образом, неравенство 3+axa2x выполняется для всех действительных значений x при двух условиях:

1. Если a>2.

2. Если a<2.

Это значит, что неравенство выполняется для всех действительных значений a, кроме значения -2. Любое значение a, отличное от -2, удовлетворит данное неравенство.