Решите задачи 1-5, используя метод непосредственного интегрирования или метод замены для задач 1-4, и метод

Putnik_S_Zvezdoy

14

Задача 1:
\[ \int (2x^2 - 3x + 5) dx \]

Решение:
Произведем интегрирование каждого члена функции по отдельности:
\[ \int 2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 + C_1 \]
\[ \int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_2 \]
\[ \int 5 dx = 5x + C_3 \]

Сложим полученные результаты и запишем общее решение:
\[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5x + C \]

Задача 2:
\[ \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx \]

Решение:
Выделим в знаменателе выражение \( e^x \):
\[ \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \int \frac{e^x + 1 - 1}{e^x + 1} dx \]
\[ = \int \left( 1 - \frac{1}{e^x + 1} \right) dx = \int dx - \int \frac{1}{e^x + 1} dx \]
\[ = x - \ln|e^x + 1| + C \]

Задача 3:
\[ \int x \cos(x) dx \]

Решение:
Используем интегрирование по частям, где первая функция \( u = x \) и вторая функция \( dv = \cos(x) dx \):

\[ du = dx, \quad v = \sin(x) \]

Применим формулу интегрирования по частям:
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
\[ = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C \]

Задача 4:
\[ \int e^x \sin(x) dx \]

Решение:
Используем интегрирование по частям, где первая функция \( u = e^x \) и вторая функция \( dv = \sin(x) dx \):

\[ du = e^x dx, \quad v = -\cos(x) \]

Применяем формулу интегрирования по частям:
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
\[ = -e^x \cos(x) - \int (-\cos(x) e^x) dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx \]

Получили новый интеграл, который можно решить снова по частям.

Задача 5:
\[ \int x^3 e^x dx \]

Решение:
Используем метод интегрирования по частям, где первая функция \( u = x^3 \) и вторая функция \( dv = e^x dx \):

\[ du = 3x^2 dx, \quad v = e^x \]

Применяем формулу интегрирования по частям:
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
\[ = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx \]

Получили новый интеграл, который можно решить снова по частям.