С использованием методов дифференциального исчисления решите следующие физические вопросы: 1. Сколько дней потребуется

Nikolay

48

Для решения данной задачи воспользуемся методами дифференциального исчисления.

Пусть x обозначает долю изученного курса, то есть x = t / (t + k), где t - количество дней, потраченных на изучение курса, а k - дополнительное количество дней, необходимое для полного изучения курса. По условию задачи, студент забывает α ⋅ t долю уже изученного материала.

Теперь нам нужно найти производную x по t, чтобы выразить изменение x относительно t. Затем уравняем производную x по t с α ⋅ t, чтобы найти точку экстремума изученного курса.

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{t}}{{t + k}}\right)
\]

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{(t + k) \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t) - t \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t + k)}}{{(t + k)^2}}
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{k}}{{(t + k)^2}}
\]

Теперь приравняем производную к α ⋅ t и решим полученное уравнение относительно t:

\[
\frac{{k}}{{(t + k)^2}} = α \cdot t
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{{k}}{{t^2 + 2tk + k^2}} = α \cdot t
\]

Умножим обе части уравнения на \(t^2 + 2tk + k^2\):

\[
k = α \cdot t \cdot (t + 2k)
\]

Разделим обе части уравнения на \(α \cdot t\):

\[
\frac{{k}}{{α \cdot t}} = t + 2k
\]

Теперь можно решить полученное уравнение относительно t:

\[
\frac{{k}}{{α \cdot t}} - 2k = t
\]

\[
\left(\frac{{k}}{{α \cdot t}} - 2k\right) \cdot t = t^2
\]

\[
\frac{{k}}{{α}} - 2k \cdot α \cdot t = t^2
\]

\[
t^2 + 2k \cdot α \cdot t - \frac{{k}}{{α}} = 0
\]

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения:

\[
D = (2k \cdot α)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{{k}}{{α}}\right) = 4k^2α^2 + 4k = 4k(kα + 1)
\]

Уравнение имеет два корня:

\[
t_1 = \frac{{-2k \cdot α + \sqrt{4k(kα + 1)}}}{{2}} = -k \cdot α + \sqrt{k(kα + 1)}
\]

\[
t_2 = \frac{{-2k \cdot α - \sqrt{4k(kα + 1)}}}{{2}} = -k \cdot α - \sqrt{k(kα + 1)}
\]

Так как количество дней не может быть отрицательным, мы выбираем только положительный корень:

\[
t = -k \cdot α + \sqrt{k(kα + 1)}
\]

Таким образом, студенту потребуется \(t = -k \cdot α + \sqrt{k(kα + 1)}\) дней для полного изучения курса.