С каким значением показателя преломления света луч проходит через зеркало и выходит из воды? Каково расстояние между

Даниил

63

Для решения этой задачи нам понадобятся законы преломления света.

Первый закон преломления света - закон Снеллиуса, гласит, что отношение синуса угла падения (\(\sin\alpha\)) к синусу угла преломления (\(\sin\beta\)) равно отношению показателей преломления двух сред (\(n_1\) и \(n_2\)):

\[\frac{{\sin\alpha}}{{\sin\beta}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

где \(\alpha\) - угол падения, \(\beta\) - угол преломления, \(n_1\) - показатель преломления первой среды (в данном случае воздуха), \(n_2\) - показатель преломления второй среды (в данном случае воды).

Из условия задачи угол падения равен 30°. Пусть \(n_1\) будет показателем преломления воздуха, а \(n_2\) - показателем преломления воды. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{{\sin 30°}}{{\sin\beta}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Второй закон преломления света - закон сохранения энергии, гласит, что при падении луча света на границу раздела двух сред, сумма произведений показателей преломления (\(n_i\)) каждой среды на синус угла падения (\(\sin\alpha_i\)) равна сумме произведений показателей преломления (\(n_i\)) каждой среды на синус угла преломления (\(\sin\beta_i\)):

\[n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\beta_2\]

где \(\alpha_1\) - угол падения, \(\beta_2\) - угол преломления.

Из условия задачи также известно, что глубина водоема равна 2 метра. Мы хотим найти расстояние между точкой входа луча в воду и точкой выхода луча из воды. Обозначим это расстояние за \(d\).

Теперь мы можем сформулировать второе уравнение:

\[n_1 \sin 30° = n_2 \sin\beta_2\]

Синус 30° равен \(0.5\), поэтому уравнение принимает следующий вид:

\[0.5n_1 = n_2 \sin\beta_2\]

Мы хотим найти \(n_2\) и \(d\).

Воспользуемся формулой для нахождения показателя преломления \(n_2\):

\[n_2 = \frac{{0.5n_1}}{{\sin\beta_2}}\]

Теперь найдем значение угла преломления. Используем первый закон преломления света:

\[\frac{{\sin 30°}}{{\sin\beta_2}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Подставим значение \(n_2\), полученное выше:

\[\frac{{\sin 30°}}{{\sin\beta_2}} = \frac{{\frac{{0.5n_1}}{{\sin\beta_2}}}}{{n_1}}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{{\sin 30°}}{{\sin\beta_2}} = \frac{{0.5}}{{\sin\beta_2}}\]

Теперь найдем значение \(\sin\beta_2\):

\[\sin\beta_2 = \frac{{\sin 30°}}{{0.5}} = 2\sin 30°\]

Синус 30° равен \(0.5\), поэтому:

\[\sin\beta_2 = 2 \cdot 0.5 = 1\]

Теперь мы можем найти показатель преломления \(n_2\):

\[n_2 = \frac{{0.5n_1}}{{\sin\beta_2}} = \frac{{0.5n_1}}{{1}} = 0.5n_1\]

Таким образом, показатель преломления света в воде равен половине показателя преломления воздуха.

Теперь найдем расстояние \(d\) между точкой входа луча в воду и точкой выхода луча из воды.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[d^2 = (\text{{глубина водоема}})^2 - h^2\]

где \(h\) - горизонтальное расстояние между точками входа и выхода луча.

Подставим известные значения:

\[d^2 = 2^2 - h^2\]

Мы хотим найти \(d\), поэтому возьмем положительный корень:

\[d = \sqrt{2^2 - h^2}\]

Подставим \(h = 2 \cdot \sin 30° = 2 \cdot 0.5 = 1\):

\[d = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\]

Таким образом, расстояние между точкой входа луча в воду и точкой выхода луча из воды при угле падения 30° и глубине водоема 2 метра равно \(\sqrt{3}\) метра.

Ссылка на решение задачи: [ссылка]