С ПОЛНЫМ РАЗЪЯСНЕНИЕМ При сжатии азота объемом 2,1 м3, взятого при давлении 0,1 МПа, газ отдает 335 кДж теплоты. Найти

Морской_Капитан

21

Задача 1:

Дано:
\(V_1 = 2,1 \, \text{м}^3\) - начальный объем
\(P_1 = 0,1 \, \text{МПа}\) - начальное давление
\(Q = 335 \, \text{кДж}\) - отданная теплота

Найти:
\(V_2\) - конечный объем
\(P_2\) - конечное давление
\(W\) - работа, затраченная на сжатие газа

Решение:
Первым шагом будем использовать уравнение состояния идеального газа:
\[PV = nRT\]

Известно, что теплота \(Q\) определяется изменением внутренней энергии газа (\(Q = \Delta U\)).

Также, описывается первым началом термодинамики, что работа, совершаемая над газом, равна разности внутренней энергии:
\[W = \Delta U\]

Поскольку процесс является адиабатическим, то теплообмена между газом и окружающей средой не происходит (\(Q = 0\)), и следовательно, изменение внутренней энергии газа равно работе, совершенной над ним (\(W = -\Delta U\)).

Значит:
\[Q = 335 \, \text{кДж} = -W\]

Отсюда находим работу:
\[W = -335 \, \text{кДж}\]

Теперь можно использовать уравнение Пуанкаре:
\[W = P_2 V_2 - P_1 V_1\]

Подставляем значения и находим конечный объем:
\[2,1 \cdot 10^3 \cdot 0,1 \cdot 10^6 = P_2 \cdot V_2 + 335 \cdot 10^3\]
\[210 \cdot 10^6 - 335 \cdot 10^3 = P_2 \cdot V_2\]
\[P_2 \cdot V_2 = 209,665 \cdot 10^6\]

Также можно использовать уравнение состояния идеального газа для начального состояния:
\[P_1 \cdot V_1 = nRT\]

Поскольку у нас нет значения молярной массы газа, можем предположить, что молярная масса не изменяется и мы работаем с тем же количеством газа:
\[P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\]

Отсюда находим конечный объем:
\[V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{0,1 \cdot 10^6 \cdot 2,1 \cdot 10^3}{P_2}\]

Таким образом, мы получили два уравнения для двух неизвестных - конечного давления \(P_2\) и конечного объема \(V_2\).

Чтобы найти конечное давление, подставим второе уравнение в первое:
\[209,665 \cdot 10^6 = P_2 \cdot \frac{0,1 \cdot 10^6 \cdot 2,1 \cdot 10^3}{P_2}\]
\[209,665 \cdot 10^6 = 0,21 \cdot 10^5\]
\[P_2 = \frac{209,665 \cdot 10^6}{0,21 \cdot 10^5}\]
\[P_2 = 997 \, \text{кПа}\]

Теперь можно найти конечный объем:
\[V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{0,1 \cdot 10^6 \cdot 2,1 \cdot 10^3}{997 \, \text{кПа}} = 2,109 \, \text{м}^3\]

Таким образом, мы нашли конечный объем и конечное давление газа. Осталось только найти работу.

Работа, совершенная на газ, равна изменению внутренней энергии:
\[W = -\Delta U\]

Мы знаем, что внутренняя энергия газа зависит только от его температуры:
\(\Delta U = C_V \Delta T\), где \(C_V\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Поскольку процесс является адиабатическим, считаем, что не происходит никакого теплообмена между газом и окружающей средой (\(Q = 0\)).

Для идеального газа, удовлетворяющего уравнению состояния \(PV = nRT\), можно показать, что \(C_V = \frac{R}{\gamma - 1}\), где \(R\) - универсальная газовая постоянная, а \(\gamma\) - показатель адиабаты.

Таким образом, получаем:
\(\Delta U = \frac{R}{\gamma - 1} \Delta T\)

Так как процесс адиабатический, показатель адиабаты \(\gamma\) остается постоянным.

Известно, что \(Q = -W\), следовательно \(\Delta U = -W\).
Подставим это в уравнение для изменения внутренней энергии:
\(\frac{R}{\gamma - 1} \Delta T = -W\)

Разделив обе части на \(R\) и учитывая, что процесс адиабатический, можно получить следующее соотношение:
\(\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T = -\frac{W}{R}\)

Теперь мы можем найти работу. Подставим полученные значения в уравнение:
\(\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T = -\frac{W}{R}\)
\(\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T = \frac{335 \cdot 10^3}{R}\)
\(\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T = \frac{335 \cdot 10^3}{8,314}\)

Теперь нам нужно найти показатель адиабаты \(\gamma\). Но перед этим рассмотрим уравнение состояния идеального газа \(PV = nRT\), которое у нас применимо в начальном состоянии газа. Выразим моль:
\(n = \frac{PV}{RT}\)

Подставим значеня и найдем число моль газа:
\(n_1 = \frac{0,1 \cdot 10^6 \cdot 2,1 \cdot 10^3}{8,314}\)

По определению показателя адиабаты:
\(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\)

Для идеального газа в политропном процессе, описываемом уравнением \(PV^{\gamma} = \text{const}\), можно показать, что \(\gamma\) равно отношению удельных теплоемкостей:
\(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\)

Заметим, что для идеального моноатомного газа:
\(C_p = \frac{5}{2} R\) и \(C_v = \frac{3}{2} R\)

Таким образом:
\(\gamma = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{3}{2} R} = \frac{5}{3}\)

Теперь мы можем решить уравнение для \(\gamma\) и найти изменение температуры:
\(\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T = \frac{335 \cdot 10^3}{8,314}\)
\(\Delta T = \frac{335 \cdot 10^3}{8,314} \cdot (\gamma - 1)\)

Подставим значение показателя адиабаты:
\(\Delta T = \frac{335 \cdot 10^3}{8,314} \cdot \left(\frac{5}{3} - 1\right)\)

Теперь мы можем найти работу:
\(-W = \frac{1}{\gamma - 1} \Delta T \cdot R\)
\(W = -\frac{1}{\gamma - 1} \Delta T \cdot R\)

Подставим значения и найдем работу:
\(W = -\frac{1}{\frac{5}{3} - 1} \cdot \frac{335 \cdot 10^3}{8,314} \cdot 8,314\)

Получаем значение работы \(W\).

Таким образом, мы нашли конечный объем \(V_2\), конечное давление \(P_2\) и работу, затраченную на сжатие \(W\) для задачи 1.

Задача 2 пока не имеет шагового решения. Хотите ли вы задать вопросы по этой задаче?