Що потрібно знайти у великого рівнобедреного трикутника, якщо відомо, що в малого трикутника відношення основи

Muha

26

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства и формулы, связанные с треугольниками. Давайте пошагово решим задачу:

а) Чтобы найти длину основы великого треугольника, нам нужно знать длину основы малого треугольника. По условию задачи, отношение основы к боковой стороне малого треугольника равно 2:3. То есть, если длина основы малого треугольника равна \(2x\), то длина боковой стороны будет \(3x\).

Так как мы знаем, что периметр великого треугольника равен 40 см, периметр треугольника вычисляется как сумма длин его сторон. В нашем случае, периметр великого треугольника равен сумме длин его основы и двух равных боковых сторон. Поэтому мы можем записать уравнение:

\(2x + 3x + 3x = 40\)

Складывая коэффициенты при \(x\), получаем:

\(8x = 40\)

Делим обе части уравнения на 8:

\(x = \frac{40}{8} = 5\)

Теперь мы знаем значение \(x\) - длину основы малого треугольника. Чтобы найти длину основы великого треугольника, мы должны умножить \(x\) на 2:

\(2 \cdot 5 = 10\)

Ответ: длина основы великого треугольника равна 10 см.

б) Чтобы найти ширину основы великого треугольника, нам также понадобится значение \(x\) - длина основы малого треугольника.

Ширина основы великого треугольника равна сумме ширины основы малого треугольника и двух длин боковых сторон. Поэтому мы можем записать уравнение:

\(2x + 2 \cdot 3x = 10 + 6 \cdot 5 = 40\)

Ответ: ширина основы великого треугольника также равна 10 см.

в) Чтобы найти высоту великого треугольника, воспользуемся формулой для высоты прямоугольного треугольника.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению длины основы и длины боковой стороны, деленному на длину гипотенузы (стороны противоположной прямому углу).

В нашем случае, длина основы равна 10 см, а длина боковой стороны равна 15 см (так как она в 3 раза больше длины основы). Для нахождения длины гипотенузы, великого треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее равенство:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

В нашем случае, один из катетов (длина основы) равен 10 см, а другой катет (длина боковой стороны) равен 15 см. Подставляем значения в уравнение и решаем его:

\(10^2 + 15^2 = c^2\)

\(100 + 225 = c^2\)

\(325 = c^2\)

\(c = \sqrt{325}\)

\(c \approx 18,03\) (округляем до двух десятичных знаков)

Теперь, когда мы знаем длину основы, длину боковой стороны и длину гипотенузы прямоугольного треугольника, мы можем найти высоту.

Высота равна:

\(h = \frac{2 \cdot \text{площадь}}{\text{основа}}\)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длины основы и длины боковой стороны:

\(\text{площадь} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75\)

Подставляем значения в формулу для высоты:

\(h = \frac{2 \cdot 75}{10} = 15\)

Ответ: высота великого треугольника равна 15 см.

г) Чтобы найти радиус вписанного круга великого треугольника, воспользуемся формулой:

\(r = \frac{\text{площадь треугольника}}{\text{полупериметр треугольника}}\)

Для нахождения площади великого треугольника мы можем воспользоваться формулой Герона:

\(\text{площадь} = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\)

где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника.

Мы уже знаем полупериметр треугольника - он равен половине периметра великого треугольника:

\(s = \frac{\text{периметр}}{2} = \frac{40}{2} = 20\)

Длины сторон великого треугольника мы уже нашли в пункте а):

основа = 10 см
боковая сторона = 15 см
гипотенуза = около 18,03 см

Подставляем значения в формулу для нахождения площади:

\(\text{площадь} = \sqrt{20 \cdot (20 - 10) \cdot (20 - 15) \cdot (20 - 18.03)} \approx 60.5\)

Теперь, подставляем найденные значения площади и полупериметра в формулу для радиуса:

\(r = \frac{60.5}{20} \approx 3.03\)

Ответ: радиус вписанного круга великого треугольника примерно равен 3.03 см.

д) Чтобы найти радиус описанного круга великого треугольника, воспользуемся формулой:

\(R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{площадь}}\)

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(\text{площадь}\) - площадь треугольника.

Мы уже знаем длины сторон великого треугольника:

основа = 10 см
боковая сторона = 15 см
гипотенуза = около 18,03 см

И площадь великого треугольника:

\(\text{площадь} = 60.5\)

Подставляем значения в формулу:

\(R = \frac{10 \cdot 15 \cdot 18.03}{4 \cdot 60.5} \approx 7.53\)

Ответ: радиус описанного круга великого треугольника примерно равен 7.53 см.

е) Чтобы найти площадь великого треугольника, воспользуемся формулой Герона:

\(\text{площадь} = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\)

Мы уже знаем полупериметр великого треугольника из пункта г):

\(s = 20\), а также длины сторон великого треугольника:

\(a = 10\), \(b = 15\), \(c \approx 18.03\)

Подставляем значения в формулу:

\(\text{площадь} = \sqrt{20 \cdot (20 - 10) \cdot (20 - 15) \cdot (20 - 18.03)} \approx 60.5\)

Ответ: площадь великого треугольника примерно равна 60.5 квадратных сантиметров.

Таким образом, мы получили все необходимые значения для каждого пункта задачи. Надеюсь, ответы понятны и подробны. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.