Що потрібно знайти в прямокутному трикутнику, якщо медіани, проведені до катетів, мають довжину 3 см і

Ветерок

65

Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте разберемся с определением медианы. Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Отметим эти середины сторон, соответствующих катетам, как точки \( M \) и \( N \). Теперь мы знаем, что длины медиан, проведенных до катетов, равны 3 см.

Так как треугольник прямоугольный, то медианы, проведенные до катетов, делят стороны пополам. Это означает, что отрезки \( AM \) и \( BN \) равны половине длины катетов треугольника.

Пусть длина катета, соответствующего точке \( M \), равна \( x \) см. Тогда длина катета, соответствующего точке \( N \), также будет равна \( x \) см. Так как медианы равны 3 см, то мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{BN}}{{AN}} = \frac{1}{2}
\]

Разделим это уравнение на \( x \):

\[
\frac{{x}}{{BM}} = \frac{{BN}}{{x}}
\]

Умножим обе части уравнения на \( x \):

\[
x^2 = BM \cdot BN
\]

Теперь у нас есть выражение для нахождения площади прямоугольного треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BN
\]

Заметим, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, так как один из катетов равен \( x \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2}x^2
\]

Теперь у нас есть связь между площадью треугольника и длиной катета. Приравняем это к выражению для нахождения площади и решим уравнение:

\[
\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} \cdot 3^2
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} \cdot 9
\]

Таким образом, получаем:

\[
x^2 = 9
\]

\[
x = \sqrt{9}
\]

\[
x = 3
\]

Таким образом, длина катета \( x \) равна 3 см. А так как медианы делят стороны пополам, то длины катетов равны 6 см. Таким образом, мы нашли, что нужно найти в прямоугольном треугольнике - длину катетов, которая равна 6 см.