Що потрібно знайти в прямокутному трикутнику, якщо медіани, проведені до катетів, мають довжину 3 см і

Ветерок

65

Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте разберемся с определением медианы. Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Отметим эти середины сторон, соответствующих катетам, как точки $M$ и $N$. Теперь мы знаем, что длины медиан, проведенных до катетов, равны 3 см.

Так как треугольник прямоугольный, то медианы, проведенные до катетов, делят стороны пополам. Это означает, что отрезки $AM$ и $BN$ равны половине длины катетов треугольника.

Пусть длина катета, соответствующего точке $M$, равна $x$ см. Тогда длина катета, соответствующего точке $N$, также будет равна $x$ см. Так как медианы равны 3 см, то мы можем записать следующее уравнение:

$$\frac{AM}{BM}=\frac{BN}{AN}=\frac{1}{2}$$

Разделим это уравнение на $x$:

$$\frac{x}{BM}=\frac{BN}{x}$$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$$x^2=BM\cdot BN$$

Теперь у нас есть выражение для нахождения площади прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BN$$

Заметим, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, так как один из катетов равен $x$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{1}{2}{x}^2$$

Теперь у нас есть связь между площадью треугольника и длиной катета. Приравняем это к выражению для нахождения площади и решим уравнение:

$$\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}\cdot 3^2$$

$$\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}\cdot 9$$

Таким образом, получаем:

$$x^2=9$$

$$x=\sqrt{9}$$

$$x=3$$

Таким образом, длина катета $x$ равна 3 см. А так как медианы делят стороны пополам, то длины катетов равны 6 см. Таким образом, мы нашли, что нужно найти в прямоугольном треугольнике - длину катетов, которая равна 6 см.