Щоб максимізувати площу вписаного прямокутника в прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30 градусів

  • 42
Щоб максимізувати площу вписаного прямокутника в прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30 градусів, які сторони прямокутника повинні бути?
Yarost
58
Для решения этой задачи нам потребуется воспользоваться базовыми знаниями геометрии и тригонометрии. Давайте посмотрим на рисунок для лучшего понимания ситуации.

ABCDD"

Здесь ABC - прямоугольный треугольник, где AB = 16 см - гипотенуза, угол BAC = 30 градусов, BC - катет.

Мы хотим вписать прямоугольник в треугольник таким образом, чтобы его стороны были параллельны сторонам треугольника и одна из вершин прямоугольника лежала на гипотенузе. Одну из вершин прямоугольника мы обозначим как C, а противоположную вершину соединим с вершиной B прямой линией, которую мы обозначим как BD. Таким образом, прямая BD будет служить высотой треугольника BCD.

Для начала найдем высоту треугольника BCD. Поскольку BC - катет, а BAC - прямой угол, то треугольник BCD будет подобен треугольнику ABC по 1 стороне и 1 острому углу (по AA). То есть, отношение высот треугольников будет равно отношению гипотенуз катета. Таким образом,

BDBC=ABAC

Подставляя известные значения, получаем

BDBC=16AC

Теперь нам нужно найти стороны прямоугольника, поэтому обозначим их как CD и DD". Так как стороны прямоугольника параллельны сторонам треугольника, то DC || AC и D"D || AB. Также, так как BC - сторона треугольника и вписанный прямоугольник имеют общую вершину C, то сторона прямоугольника DC лежит на стороне треугольника BC.

Теперь мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине, поэтому

CD=AB=16см

Также из свойств параллелограмма следует, что противоположные углы равны, поэтому угол BCD равен углу BAC и равен 30 градусам.

Теперь займемся нахождением стороны D"D. Для этого снова воспользуемся свойствами подобных треугольников. Треугольники BCD и BAD подобны по трем углам, так как у них два угла, в том числе угол B, совпадают.

Таким образом,

BD"BA=CDBC

Подставляя известные значения, получаем

BD"16=16BC

Теперь мы можем найти длину стороны D"D. Умножая обе части уравнения на 16, получаем

BD"=BC

Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны стороне треугольника BC, чтобы максимизировать площадь вписанного прямоугольника.

Итак, ответ на задачу: стороны прямоугольника должны быть равны 16 см.