Щоб максимізувати площу вписаного прямокутника в прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30 градусів

Yarost

58

Для решения этой задачи нам потребуется воспользоваться базовыми знаниями геометрии и тригонометрии. Давайте посмотрим на рисунок для лучшего понимания ситуации.

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & \stackrel{A}{\longrightarrow} & & & & \\
& & & \uparrow & & & & \\
& & & B & & & & \\
& & & \uparrow & & & & \\
& C & & & & & D & \\
& \downarrow & & & & & \downarrow & \\
& & & \stackrel{D"}{\longleftarrow} & & & & \\
\end{array}
\]

Здесь ABC - прямоугольный треугольник, где AB = 16 см - гипотенуза, угол BAC = 30 градусов, BC - катет.

Мы хотим вписать прямоугольник в треугольник таким образом, чтобы его стороны были параллельны сторонам треугольника и одна из вершин прямоугольника лежала на гипотенузе. Одну из вершин прямоугольника мы обозначим как C, а противоположную вершину соединим с вершиной B прямой линией, которую мы обозначим как BD. Таким образом, прямая BD будет служить высотой треугольника BCD.

Для начала найдем высоту треугольника BCD. Поскольку BC - катет, а BAC - прямой угол, то треугольник BCD будет подобен треугольнику ABC по 1 стороне и 1 острому углу (по AA). То есть, отношение высот треугольников будет равно отношению гипотенуз катета. Таким образом,

\[
\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AC}}
\]

Подставляя известные значения, получаем

\[
\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{16}}{{AC}}
\]

Теперь нам нужно найти стороны прямоугольника, поэтому обозначим их как CD и DD". Так как стороны прямоугольника параллельны сторонам треугольника, то DC || AC и D"D || AB. Также, так как BC - сторона треугольника и вписанный прямоугольник имеют общую вершину C, то сторона прямоугольника DC лежит на стороне треугольника BC.

Теперь мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине, поэтому

\[
CD = AB = 16 \, \text{см}
\]

Также из свойств параллелограмма следует, что противоположные углы равны, поэтому угол BCD равен углу BAC и равен 30 градусам.

Теперь займемся нахождением стороны D"D. Для этого снова воспользуемся свойствами подобных треугольников. Треугольники BCD и BAD подобны по трем углам, так как у них два угла, в том числе угол B, совпадают.

Таким образом,

\[
\frac{{BD"}}{{BA}} = \frac{{CD}}{{BC}}
\]

Подставляя известные значения, получаем

\[
\frac{{BD"}}{{16}} = \frac{{16}}{{BC}}
\]

Теперь мы можем найти длину стороны D"D. Умножая обе части уравнения на 16, получаем

\[
BD" = BC
\]

Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны стороне треугольника BC, чтобы максимизировать площадь вписанного прямоугольника.

Итак, ответ на задачу: стороны прямоугольника должны быть равны 16 см.