Щоб максимізувати площу вписаного прямокутника в прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30 градусів
Щоб максимізувати площу вписаного прямокутника в прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30 градусів, які сторони прямокутника повинні бути?
Yarost 58
Для решения этой задачи нам потребуется воспользоваться базовыми знаниями геометрии и тригонометрии. Давайте посмотрим на рисунок для лучшего понимания ситуации.Здесь ABC - прямоугольный треугольник, где AB = 16 см - гипотенуза, угол BAC = 30 градусов, BC - катет.
Мы хотим вписать прямоугольник в треугольник таким образом, чтобы его стороны были параллельны сторонам треугольника и одна из вершин прямоугольника лежала на гипотенузе. Одну из вершин прямоугольника мы обозначим как C, а противоположную вершину соединим с вершиной B прямой линией, которую мы обозначим как BD. Таким образом, прямая BD будет служить высотой треугольника BCD.
Для начала найдем высоту треугольника BCD. Поскольку BC - катет, а BAC - прямой угол, то треугольник BCD будет подобен треугольнику ABC по 1 стороне и 1 острому углу (по AA). То есть, отношение высот треугольников будет равно отношению гипотенуз катета. Таким образом,
Подставляя известные значения, получаем
Теперь нам нужно найти стороны прямоугольника, поэтому обозначим их как CD и DD". Так как стороны прямоугольника параллельны сторонам треугольника, то DC || AC и D"D || AB. Также, так как BC - сторона треугольника и вписанный прямоугольник имеют общую вершину C, то сторона прямоугольника DC лежит на стороне треугольника BC.
Теперь мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине, поэтому
Также из свойств параллелограмма следует, что противоположные углы равны, поэтому угол BCD равен углу BAC и равен 30 градусам.
Теперь займемся нахождением стороны D"D. Для этого снова воспользуемся свойствами подобных треугольников. Треугольники BCD и BAD подобны по трем углам, так как у них два угла, в том числе угол B, совпадают.
Таким образом,
Подставляя известные значения, получаем
Теперь мы можем найти длину стороны D"D. Умножая обе части уравнения на 16, получаем
Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны стороне треугольника BC, чтобы максимизировать площадь вписанного прямоугольника.
Итак, ответ на задачу: стороны прямоугольника должны быть равны 16 см.