Середины сторон трапеции обозначены на изображении точками. Докажите равенство площадей закрашенных областей

Морозный_Король

12

Хорошо, чтобы доказать равенство площадей закрашенных областей, мы можем использовать метод разбиения трапеции на более простые фигуры и сравнения их площадей. Давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим середины сторон трапеции как точки A, B, C и D, как показано на изображении.

2. Проведем линии, соединяющие точки B и C, а также точки A и D. После этого трапеция будет разбита на две треугольные фигуры (треугольник ABC и треугольник ACD) и прямоугольник (ABCD).

3. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку точка A является серединой стороны трапеции, то прямая BC является осью этой стороны и делит треугольник ABC на две равные части. Аналогично, точка D является серединой стороны трапеции, и прямая BC также делит треугольник ACD на две равные части.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна площади треугольника ACD.

4. Теперь давайте рассмотрим прямоугольник ABCD. Этот прямоугольник имеет сторону AD, которая является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции, она параллельна и равна среднему значениям оснований трапеции (AB и CD).

5. Таким образом, сторона AD прямоугольника ABCD равна \( \frac{AB + CD}{2} \).

6. Зная, что высота прямоугольника AD равна 2h, где h - высота трапеции, мы можем выразить площадь прямоугольника ABCD через базы трапеции:

Площадь ABCD = AD * h = \( \frac{AB + CD}{2} \) * h = \( \frac{AB * h}{2} + \frac{CD * h}{2} \)

7. Ранее мы показали, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника ACD, поэтому мы можем записать их площади:

Площадь ABC = Площадь ACD

8. Подставим площади треугольников в уравнение для площади ABCD и получим:

Площадь ABCD = 2 * Площадь ABC = 2 * Площадь ACD

Таким образом, мы доказали, что площадь закрашенной области в трапеции равна удвоенной площади любого из треугольников ABC или ACD.