Докажите, что площадь треугольника остается четыре раза меньше площади параллелограмма abcd, если в нем пересекаются

Скворец_2405

38

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и треугольник ABD.

Поскольку AC и BD являются диагоналями параллелограмма ABCD и пересекаются в точке O, мы можем использовать свойство диагоналей параллелограмма. Это свойство гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и образуют равные силы. То есть, OA = OC и OB = OD.

Поскольку площадь параллелограмма вычисляется как произведение длины одной его диагонали на длину высоты, мы можем написать следующее:

Площадь параллелограмма ABCD = AC * h1, где h1 - высота параллелограмма относительно диагонали AC.

Аналогично, площадь треугольника ABD можно вычислить как половину произведения длины его базы на длину высоты, так что:

Площадь треугольника ABD = 0.5 * BD * h2, где h2 - высота треугольника относительно базы BD.

Теперь, у нас есть два уравнения - одно для площади параллелограмма ABCD и одно для площади треугольника ABD. Если мы поделим площадь параллелограмма на площадь треугольника, то получим:

\[\frac{{\text{{Площадь параллелограмма ABCD}}}}{{\text{{Площадь треугольника ABD}}}} = \frac{{AC \cdot h1}}{{0.5 \cdot BD \cdot h2}}\]

Согласно свойству диагоналей параллелограмма, AC = 2 \cdot OA и BD = 2 \cdot OB. Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{{\text{{Площадь параллелограмма ABCD}}}}{{\text{{Площадь треугольника ABD}}}} = \frac{{2 \cdot OA \cdot h1}}{{0.5 \cdot 2 \cdot OB \cdot h2}}\]

Очевидно, что коэффициенты 2 в числителе и знаменателе сократятся. Получим:

\[\frac{{\text{{Площадь параллелограмма ABCD}}}}{{\text{{Площадь треугольника ABD}}}} = \frac{{OA \cdot h1}}{{OB \cdot h2}}\]

Заметим, что \(OA = OB\) по свойству диагоналей параллелограмма. Поэтому, \(OA \cdot h1 = OB \cdot h2\), и уравнение упрощается к следующему:

\[\frac{{\text{{Площадь параллелограмма ABCD}}}}{{\text{{Площадь треугольника ABD}}}} = 1\]

Таким образом, мы получили, что площадь треугольника ABD равна четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD.