Шеңбер бойындағы 8 нүктені екі-екіге неше кесіншек қосу мүмкін?

Lyudmila

62

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть 8 точек на прямой и нам нужно разместить две точки между каждыми смежными точками.

Для начала, давайте посмотрим, сколько разделителей (то есть количество добавляемых точек) может быть между каждой парой смежных точек. Мы можем добавить 0, 1 или 2 разделителя в каждый из 7 интервалов между 8 точками на прямой.

Попробуем рассмотреть все возможные варианты:

1. Добавляем 0 разделителей между смежными точками:

Тогда каждые две смежные точки остаются без изменений. В этом случае, всего 8 точек остаются на прямой.

2. Добавляем 1 разделитель между смежными точками:

Мы можем выбрать любые две смежные точки и добавить разделитель между ними. Всего у нас 7 возможных интервалов для вставки разделителя. Таким образом, мы можем добавить 1 разделитель на 7 возможных интервалах, что дает нам 7 возможных вариантов.

3. Добавляем 2 разделителя между смежными точками:

Опять же, мы можем выбрать две смежные точки и добавить разделитель между ними, но на этот раз у нас есть 7 интервалов между ними. Теперь у нас есть два разделителя, которые мы должны расположить внутри этих 7 интервалов. Мы можем выбрать 2 интервала из 7 возможных, что дает нам количество сочетаний из 7 по 2 (обозначается как C(7,2)). Сочетания из 7 по 2 равны \(\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\).

Таким образом, суммируя все варианты, мы получаем общее количество возможных способов добавить 2 точки между каждой смежной парой 8 точек на прямой равным:

\(8 + 7 + 21 = 36.\)

Итак, ответ на задачу: можно добавить 2 точки между каждой смежной парой 8 точек на прямой не более чем 36 способами.